完整word版高中数学选修22第一章导数及其应用单元测试题可编辑修改word版Word文档下载推荐.docx
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则实数m的取值范围是()
A.m≥3
C.m≤3
B.m>3
D.m<3
5.函数f(x)=cos2x-2cos2x的一个单调增区间是()2
A.(
)
B.(
π2πππ
,,
3362
C.(,π
D.(
ππ)
03-6,6
6.
lim
设f(x)在x=x0处可导,且
Δx→0
f(x0+3Δx)-f(x0)=1,则f′(x0)
Δx
等于()
A.1B.0
C.3D.1
7.经过原点且与曲线y
A.x+y=0B.x+25y=0
x+9
=相切的切线方程为()
x+5
C.x+y=0或x+25y=0D.以上皆非
8.函数f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a,b,c为实数,当a2-3b<0
时,f(x)是()
A.增函数B.减函数C.常数
D.既不是增函数也不是减函数
9.若a>
2,则方程1x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有()
A.0个根B.1个根
C.2个根D.3个根
10.一点沿直线运动,如果由始点起经过ts后距离为s=1-5
+2t2,那么速度为零的时刻是()
A.1s末B.0s
C.4s末D.0,1,4s末
t4t3
43
11.设f(x)=Error!
则∫f(x)dx等于()
34
A.B.
45
5
C.D.不存在
6
12.若函数f(x)=sinx
0<
x<
1,设a
sinx1b
sinx2,则a,b
,且12
x
的大小关系是()
=,=
x1x2
A.a>
bB.a<
b
C.a=bD.a、b的大小不能确定
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.若f(x)=1
3-f′
(1)x2+x+5,则f′
(1)=.
14.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈(ππ)时,f(x)=x
-,
22
+sinx,设a=f
(1),b=f
(2),c=f(3),则a、b、c的大小关系是.
15.已知函数f(x)为一次函数,其图像经过点(2,4),且
∫f(x)dx=3,则函数f(x)的解析式为.
16.(2010·
江苏卷)函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*.若a1=16,则a1+a3+a5的值是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分,求k的值.
18.(12分)已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2)上单调递减.
(1)求a的值;
(2)若点A(x0,f(x0))在函数f(x)的图像上,求证:
点A关于直线x=1
的对称点B也在函数f(x)的图像上.
19.(12分)设x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求常数a,b;
(2)试判断x=-2,x=4是函数f(x)的极大值还是极小值,并说明理由.
20.(12分)已知f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.
21.(12分)(2010·
重庆卷)已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b
∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数.
(1)求f(x)的表达式;
(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.
22.(12分)已知函数f(x)=ln(ax+1)+1-x
x≥0,其中a>
0.
,
1+x
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.
1.答案A
参考答案
解析设极值点依次为x1,x2,x3且a<x1<x2<x3<b,则f(x)在(a,x1),(x2,x3)上递增,在(x1,x2),(x3,b)上递减,因此,x1、x3是极大值点,只有x2是极小值点.
2.答案D
3.答案B
4.答案A
解析因为函数f(x)1x4-2x3+3m,
所以f′(x)=2x3-6x2.
令f′(x)=0,得x=0或x=3,经检验知x=3是函数的一个最小
.
值点,所以函数的最小值为f(3)=3m-27不等式f(x)+9≥0恒成立,
即f(x)≥-9恒成立,所以3m279,解得m3.
5.答案A
-≥-≥
解析f(x)=cos2x-cosx-1,
∴f′(x)=-2sinx·
cosx+sinx=sinx·
(1-2cosx).令f′(x)>
0,结合选项,选A.
6.答案D
7.答案D
8.答案A
9.答案B
解析设f(x)
1x3-ax2+1,则f′(x)=x2-2ax=x(x-2a),当x∈
(0,2)时,f′(x)<
0,f(x)在(0,2)上为减函数,又f(0)f
(2)=1(8)=
11
-4a<
0,
-4a+13
f(x)=0在(0,2)上恰好有一个根,故选B.10.答案D
11.答案C
解析数形结合,如图.
212
∫f(x)dx=∫x2dx+∫(2-x)dx
001
=Error!
10Error!
12
11
=+(4-2-2+)
32
=,故选C.
12.答案A
13.
解析f′(x)=xcosx-sinx
令g(x)=xcosx-sinx,则g′(x)=-xsinx+cosx-cosx=-xsinx.
∵0<
x<
1,∴g′(x)<
0,即函数g(x)在(0,1)上是减函数,得g(x)<
g(0)
=0,故f′(x)<
0,函数f(x)在(0,1)上是减函数,得a>
b,故选A.
14.答案2
解析f′(x)=x2-2f′
(1)x+1,令x=1,得f′
(1)=2
15.答案c<
a<
解析f
(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3),因为f′(x)=1+cosx≥0,
故f(x)在(
ππ)上是增函数,∵π
-2>
1>
π-3>
0,∴f(π-2)>
f
(1)>
f(π
-,>
π
222
-3),即c<
b.
15.答案f(x)=2+8
33
解析设函数f(x)=ax+b(a≠0),因为函数f(x)的图像过点(2,4),所以有b=4-2a.
∴∫f(x)dx=∫(ax+4-2a)dx
00
=1210
[ax+(4-2a)x]Error!
=a+4-2a=1.
=.∴b=.∴f(x)=x+.
∴a2828
3333
16.答案21
解析∵y′=2x,∴过点(ak,a2k)处的切线方程为y-a2k=2ak(x-
a),又该切线与x轴的交点为(a
0),所以a
1a,即数列{a}是
kk+1,
k+1=kk
等比数列,首项a=16,其公比q1a=4,a=1,∴a+a+a=21.
1=,∴35
135
17.解析抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x2=1,
所以,抛物线与x轴所围图形面积S=∫(x-x2)dx=Error!
10=1-1
=.6
又Error!
由此可得抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标x3=
0,x=1-kS
1-k
4,所以=
∫
(x-x2-kx)dx=Error!
1-0k1(1-k)3.
又S=,所以(1-k)3=,∴k=1-.
622
18.解析
(1)由函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]单调递增,在区间[1,2)单调递减,
∴x=1时,取得极大值,∴f′
(1)=0.
又f′(x)=4x3-12x2+2ax,
∴4-12+2a=0⇒a=4.
(2)点A(x0,f(x0))关于直线x=1的对称点B的坐标为(2-x0,
f(x0)),
f(2-x0)=(2-x0)4-4(2-x0)3+4(2-x0)2-1
=(2-x0)2[(2-x0)-2]2-1
=x40-4x30+ax20-1=f(x0),
∴A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图像上.19.解析f′(x)=3x2+2ax+b.
(1)由极值点的必要条件可知:
f′(-2)=f′(4)=0,即Error!
解得a=-3,b=-24.
或f′(x)=3x2+2ax+b=3(x+2)(x-4)
=3x2-6x-24,
也可得a=-3,b=-24.
(2)由f′(x)=3(x+2)(x-4).
当x<-2时,f′(x)>0,当-2<x<4时,f′(x)<0.
∴x=-2是极大值点,而当x>4时,f′(x)>0,
∴x=4是极小值点.
20.解析a≠0(否则f(x)=b与题设矛盾),
由f′(x)=3ax2-12ax=0及x∈[-1,2],得x=0.
(1)当a>0时,列表:
(-1,0)
(0,2)
f′(x)
+
-
f(x)
增
极大值b
减
由上表知,f(x)在[-1,0]上是增函数,
f(x)在[0,2]上是减函数.
则当x=0时,f(x)有最大值,从而b=3.
又f(-1)=-7a+3,f
(2)=-16a+3,
∵a>0,∴f(-1)>f
(2).
从而f
(2)=-16a+3=-29,得a=2.
(2)当a<0时,用类似的方法可判断当x=0时f(x)有最小值.当x=2时,f(x)有最大值.
从而f(0)=b=-29,f
(2)=-16a-29=3,得a=-2.
综上,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
21.解析
(1)由题意得f′(x)=3ax2+2x+b.因此g(x)=f(x)+f′(x)
=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.因为函数g(x)是奇函数,所以g(-x)=
-g(x),即对任意实数x,有a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-
[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b],从而3a+1=0,b=0,解得a
1b=0,
因此f(x)的解析式为f(x)=-1
3+x2.
=-,
(2)由
(1)知g(x)1x3+2x,所以g′(x)=-x2+2.
=-
令g′(x)=0,解得x1=-
2,x2=
2,则当x<
2或x>
2时,
g′(x)<
0,从而g(x)在区间(-∞,-
2],[
2,+∞)上是减函数;
当-2<
2时,g′(x)>
0,从而g(x)在[-
2,2]上是增函数.
由前面讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x=1,
2,2时取得,而g
(1)
5g
(2)=42g
(2)4g(x)在区间[1,2]
=因此
=,,.
333
上的最大值为g(
424
2=,最小值为g
(2)=.
22.分析解答本题,应先正确求出函数f(x)的导数f′(x),再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解,并注意在定义域范围内求解.
=-
解析
(1)f′(x)a2=
ax2+a-2,
ax+1
(1+x)2
(ax+1)(1+x)2
∵f(x)在x=1处取得极值,
∴f′
(1)=0,即a·
12+a-2=0,解得a=1.
(2)f′(x)=
∵x≥0,a>
0,∴ax+1>
①当a≥2时,在区间[0,+∞)上,f′(x)>
∴f(x)的单调增区间为[0,+∞).
②当0<
2时,
由f′(x)>
0,解得x>
由f′(x)<
0,解得x<
2-a.
a
∴f(x)的单调减区间为(0,
2-a),单调增区间为(
2-a,+∞).
(3)当a≥2时,由
(2)①知,f(x)的最小值为f(0)=1;
当0<
2,由
(2)②知,f(x)在x=处取得最小值,且f(
)<
f(0)=1.
综上可知,若f(x)的最小值为1,则a的取值范围是[2,+∞).