三角函数图像性质练习题.doc
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高一数学同步练习
必修4 第一章三角函数的图象及性质
一、 三角函数的图象与性质
A.基础梳理
1．“五点法”描图
（1）y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
（0,0），，（π，0），，（2π，0）．
（2）y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
（0,1），，（π，－1），，（2π，1）．
2．三角函数的图象和性质
函数性质
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋，k∈Z}
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
对称性
对称轴：
x＝kπ＋（k∈Z）
对称中心：
（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：
x＝kπ（k∈Z）
对称中心：
无对称轴
对称中心：
（k∈Z）
周期
2π
2π
π
单调性
单调增区间
，2kπ＋（k∈Z）；
单调减区间
，2kπ＋（k∈Z）
单调增区间
[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）；
单调减区间
[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）
单调增区间，kπ＋（k∈Z）
奇偶性
奇
偶
奇
B.方法与要点
1、两条性质
（1）周期性
函数y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx＋φ）的最小正周期为.
（2）奇偶性
三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．
2、三种方法
求三角函数值域（最值）的方法：
（1）利用sinx、cosx的有界性；
（2）形式复杂的函数应化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
（3）换元法：
把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域（最值）问题．
C.双基自测
1．（人教A版教材习题改编）函数y＝cos，x∈R（ ）．
A．是奇函数B．是偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数
2．函数y＝tan的定义域为（ ）．
A.B.
C.D.
3．已知k＜－4，则函数的最小值是（）
（A）1（B）－1（C）2k＋1（D）－2k＋1
4．y＝sin的图象的一个对称中心是（ ）．
A．（－π，0）B.C.D.
5．函数f（x）＝cos的最小正周期为________．
D.考点解析
考点一 三角函数的定义域与值域
【例1－1】►
（1）求函数y＝lgsin2x＋的定义域．
（2）求函数y＝cos2x＋sinx的最大值与最小值．
（1）求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
（2）求解三角函数的值域（最值）常见到以下几种类型的题目：
①，设化为一次函数在闭区间上的最值求之；
②形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，再求最值（值域）；
③形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
④形如y＝asinxcosx＋b（sinx±cosx）＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域（最值）．
【训练1】
（1）求函数y＝的定义域．
（2）（06年辽宁卷）已知函数,则的值域是
（A）（B）（C）（D）
（3）（04年广东卷）当时,函数的最小值是（）
A.4B.C.2D.
考点二 三角函数的奇偶性与周期性
【例2－1】►判断下列函数的奇偶性及周期性，若具有周期性，则求出其周期.
（1）
（2） （3） （4）
求三角函数的最小正周期的一般方法：
①先化为，在由公式求之；
②由周期函数的定义：
求得
③一般地，或的周期是不含有绝对值的函数的周期的一半
【例2－2】►设有函数和，若它们的最小正周期的和为，且，，求和的解析式。
【例2－3】►已知函数．
（1）求它的定义域，值域；
（2）判定它的奇偶性和周期性；（3）判定它的单调区间及每一区间上的单调性．
【训练2】
1、定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为
A. B. C. D.
2、函数的最小正周期是
ABC2D4
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
y
y
A
B
C
D
3、函数的部分图象是
4、给定性质：
①最小正周期为，②图象关于直线对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是 （）
A． B． C． D．
考点三 三角函数的单调性
【例3－1】►已知，求的单调递增区间．
【例3－2】►（2011年高考安徽卷理科9）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是
（A）（B）
（C）（D）[来源:
（1）求三角函数的单调区间的一般方法是：
①首先化为；②再解不等式：
（增函数区间）或（减函数区间）（也可先解（增）或，然后再在区间端点前面加上周期的倍）
（2）如果题目中还限制了自变量的取值范围，还应在规定范围下求单调区间的子区间。
【训练3】
1、的单调减区间是（）
A． B．
C． D．
2、（2011年全国新课标卷）设函数的最小正周期为，且
，则
A.在单调递减 B.在单调递减
C.在单调递增 D.在单调递增
考点四 三角函数的对称性
【例4－1】►
（1）函数y＝cos图象的对称轴方程可能是（ ）．
A．x＝－B．x＝－C．x＝D．x＝
（2）若0＜α＜，g（x）＝sin是偶函数，则α的值为________．
（3）（2009全国卷Ⅰ文）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为
（A）（B）（C）（D）
【例4－2】►已知函数，若，则与的大小关系是
A、>B、<
C、=D大小与a、有关
（1）正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记住它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．
（2）三角函数的对称性及其应用：
①对称中心图象上的平衡点，对称轴图象上的极值点；②三角函数的对称性也符合对称中心及对称轴的一般公式。
【训练4】
（1）函数y＝2sin（3x＋φ）的一条对称轴为x＝，则φ＝________.
（2）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为
（A）（B）（C）（D）
（3）的图象关于x＝对称，它的周期是，则（）
A、f（x）的图象过点（0，B、f（x）在区间上是减函数
C、f（x）的图象的一个对称中心是点（D、f（x）的最大值是A
（4）已知,且在区间有最小值,无最大值,则__________.
二、 正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
A.基础梳理
1．用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示
x
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin（ωx＋φ）
0
A
0
－A
0
2．函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象的步骤
3．当函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞））表示一个振动时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．
4．图象的对称性
函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：
（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象关于直线x＝xk（其中ωxk＋φ＝kπ＋，k∈Z）成轴对称图形．
（2）函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象关于点（xk,0）（其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z）成中心对称图形．
B.方法与要点
1、一种方法
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．
2、一个区别
由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，两种变换的区别：
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3、两个注意
作正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象时应注意：
（1）首先要确定函数的定义域；
（2）对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时先作一个周期的图象，再由周期性作整个函数的图象．
C.双基自测
1．（人教A版教材习题改编）y＝2sin的振幅、频率和初相分别为（ ）．
A．2，，－B．2，，－C．2，，－D．2，，－
2.已知简谐运动f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，
则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为（ ）．
A．T＝6π，φ＝B．T＝6π，φ＝C．T＝6，φ＝D．T＝6，φ＝
3．函数y＝cosx（x∈R）的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）的解析式应为（ ）．
A．－sinxB．sinxC．－cosxD．cosx
解析 由图象的平移得g（x）＝cos＝－sinx.
4．设ω＞0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）．
A.B.C.D．3
5．已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的图象如图所示，则ω＝________.
D.考点解析
考点一 函数的图象
题型1：
给出函数作图象
【例1－1】►设函数f（x）＝cos（ωx＋φ）的最小正周期为π，且f＝.
（1）求ω和φ的值；
（2）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象．
[审题视点]
（1）由已知条件可求ω，φ；
（2）采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．
（1）“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．
（2）变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω来确定平移单位．
【训练1－1】已知函数f（x）＝3sin，x∈R.
（1）画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；
（2）将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f（x）的图象？
题型2：
给出图象求函数
【例1－2】►
（1）已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，|φ|＜，ω＞0）
的图象的一部分如图所示．
（1）求f（x）的表达式；
（2）试写出f（x）的对称轴方程．
（2）（07年江西卷）如图，函数的图象与轴
相交于点，且该函数的最小正周期为．
（1）求和的值；
（2）已知点A，点P是该函数图象上的一点，点Q是PA的中点，当时，求的值。
给出图象求函数一般有两种方法，方法1：
待定系数法，即找出图象上两个已知点的坐标，代入函数式中联解方程组求出、的值；
方法2：
先由函数图象上的三个平衡点及两个极值点求出函数的周期（三个平衡点和两个极值点把函数的一个周期分为四等分，所以只要知道这五个点其中的两个就可以求出周期T）再由求出；再找出图象其中一个周期中的起始点的坐标（注意，这里的不一定是）然后用代入函数
中得整理即得。
（特别注意：
是而不是）。
至于振幅A的值则有图象上的最高点或最低点的纵坐标而求得。
（如果最高点和最低点的纵坐标不关于轴对称，则函数式应是的形式）
【训练1－2】
1、（05年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是
（A）（B）
（C）（D）
2、（2005天津卷文）函数
的部分图象如图所示，则函数表达式为
（A）（B）
（C）（D）
1
o
-1
3、（2009宁夏海南卷理）已知函数y=sin（x+）
（>0,-<）的图像如图所示，则
=________________.
4、（2009辽宁卷理）已知函数=Acos（）
的图象如图所示，，则=
（A）（B）（C）－（D）21世纪教育网
考点二 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象变换
题型1：
给定原函数和变换过程求变换后的函数
【例2－1】►
（1）（2009全国卷Ⅱ理）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为
A． B. C. D.
【例2－1】►
（2）函数y=cosx的图象向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图象解析式为（）
（A）y=3cos（x+）（B）y=3cos（2x+）（C）y=3cos（2x+）（D）y=cos（x+）
（3）若改为：
“把函数y=cosx的图象先横坐标缩小到原来的，再向左平移个单位”其他不变呢？
给定原函数和变换过程求变换后的函数时，
①左右平移变换：
用替换，得，其中，左移用“＋”，右移用“－”；
②横坐标伸缩变换：
用替换，得；
③纵坐标伸缩变换（即振幅变换）：
；
④注意先后顺序：
若先平移再左右伸缩，则；
若先左右伸缩再平移，则
⑤振幅变换无需考虑顺序（但须看其最大值与最小值是否关于x轴对称）
【训练2－1】
（1）（2012年高考浙江卷理科4）把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是
（2）先将函数y＝f（x）的图象向右移个单位，再将所得的图象作关于直线x＝的对称变换，得到的函数图象，则f（x）的解析式是（）
A、B、
C、D、
（3）把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位,再将横坐标缩小为原来的,则其解析式为.
题型2：
给定变换前后函数求变换过程
【例2－2】►
（1）其图象可以由y=sinx的图象经过怎样的变换得到?
【例2－2】►
（2）（05年天津卷）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（C）
（A）横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度
（B）横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
（C）横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
（D）横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
给定变换前后函数求变换过程，一般用待定系数法，即设左右平移了个单位及横坐标伸长或缩短到原来的倍
（1）若仅有初相位不同而相同，则只作平移变化；例如：
把经过怎样的变化得到
的图象？
解：
设左右平移了，则函数变为
∵，∴，解得，∴向右平移
（2）若仅有频率不同而初相位相同；则只作周期变化。
例如：
把经过怎样的变化得到的图象？
解：
设横坐标伸长或缩短到原来的倍，由变为，
∵，∴由解得，∴横坐标缩短到原来的倍
（3）若频率和初相位均不同，例如：
把经过怎样的变化得到的图象？
则又分两种情况：
①若先平移再伸缩，则先设平移了，得，由解得；然后在设伸缩到原来的倍，由解得；
结论：
先向左平移，然后横坐标在伸长到原来的倍。
②若先伸缩再平移，则先设伸缩到原来的倍，由解得，函数式变为；然后再设平移了，函数式变为，由解得，
结论：
先横坐标在伸长到原来的倍，然后向左平移。
（4）若所给的原函数与变化后的新函数不是同名函数；则需用诱导公式先化为同名函数：
，或
（5）仔细审题，分清楚那个是原函数，那个是变化后的函数。
【训练2－2】
（1）要得到函数的图象，只要将函数y=sin2x的图象（ ）
A、向左平移个单位 B、向右平移个单位 C、向左平移个单位 D、向右平移个单位
2）将的图象变为，其变换方法是______________________
（3）已知函数的最小正周期为，为了得到函数
的图象，只要将的图象
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
（4）有下列四种变换方式:
①向左平移，再将横坐标变为原来的；②横坐标变为原来的，再向左平移；
③横坐标变为原来的，再向左平移；④向左平移，再将横坐标变为原来的；
其中能将正弦曲线的图像变为的图像的是（）
A．①和②B．①和③C．②和③D．②和④
（5、）写出函数y=4sin2x（x∈R）的图像可以由函数y=cosx通过怎样的变换而得到.（至少写出两个顺序不同的变换）
2m
8m
h
P
考点三 三角函数模型的简单应用
【例3】►一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点
离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h（米）与时间
t（分钟）之间的函数关系式.
【训练3】
设是某港口水的深度关于时间t（时）的函数，其中,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.
根据上述数据，函数的解析式为（）
A．B．
C．D．
自我检测题
一，选择题
1、（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）．
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数
C．一定是奇函数 D．一定是偶函
2、函数y=tg（）在一个周期内的图象（ ）
A、 B、 C、 D、
3、（2005福建卷理）函数的部分图象如图，则
A． B．
C． D．
4、函数的部分图象如图所示，则的值是（）
A、0B、－1C、2＋2D、2－2
5、函数，给出下列三个命题：
①函数在区间上是减函数；②直线是函数的图象的一条对称；
③函数的图象可以由函数的图象向左平移而得到。
其中正确的是（）
A．①③ B①② C．②③ D．①②③
6、函数的部分图象如图所示，，则函数表达式为（）
A.
B.
C.
D.
7、（06年江苏卷江苏卷）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点
（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
8、（2009浙江理）已知是实数，则函数的图象不可能是（）
9．函数在区间内的图象是
10、02年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小
正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的
面积为1,小正方形的面积是,则sin2θ-cos2θ的值是（）
（A）1（B）（C）（D）-
二填空题
11、.函数y=cos（sinx）的奇偶性是；最小正周期是________________
12、已知函数y=f（x）的定义域是[0,]，则函数y=f（sin2x）的定义域.是____________________
13、对于下列四个命题：
①；②；
③；④。
其中正确命题的序号是_________________
14、已知函数f（x）＝sin（ω＞0）的单调递增区间为（k∈Z），单调递减区间为（k∈Z），则ω的值为________．
15、曲线和直线在轴右侧有无数个交点，把交点的横坐标从小到大依次记为则等于____．
三、解答题
16、已知函数（其中）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为
（1）求的解析式；
（2）当时，求的值域.
17、函数的性质通常指函数的定义
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