第十七章勾股定理及全章复习导学案Word文档格式.docx
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方法三：
以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2
1ab.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.
∵∠AED+∠ADE=90º
∴∠AED+∠BEC=90º
.∴∠DEC=180º
―90º
=90º
.
∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于
2
1c2.又∵∠DAE=90º
∠EBC=90º
∴AD∥BC.
∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于_________________
归纳：
勾股定理的具体内容是。
三.随堂练习
1.如图，直角△ABC的主要性质是：
∠C=90°
，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系：
；
（2若∠B=30°
，则∠B的对边和斜边：
（3三边之间的关系：
2.完成书上P24习题1、2
b
m
A
四.课堂检测
1.在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。
2.已知在Rt△ABC中，∠B=90°
，a、b、c是△ABC的三边，则⑴c=。
（已知a、b，求c）⑵a=。
（已知b、c，求a）⑶b=。
（已知a、c，求b）
3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
4.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或255.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）A、56B、48C、40D、32五.小结与反思
17.1勾股定理
（2）
1．会用勾股定理解决简单的实际问题。
2．树立数形结合的思想。
3．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。
4．培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。
勾股定理的应用。
难点：
实际问题向数学问题的转化。
一.预习新知（阅读教材第25至26页，并完成预习内容。
）1.①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？
②直角三角形中哪条边最长？
2.在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长．问题
（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？
（2）一个门框的尺寸如图1所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样
从门框通过？
②若薄木板长3米，宽1.5米呢？
③若薄木板长3米，宽2.2米呢？
为什么？
例：
如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.
算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．
图2
1.书上P26练习1、2
2．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。
3
．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是米，水平距离是米。
3题图1题图2题图
1．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。
2．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
3．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°
，则江面的宽度为。
4．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。
5．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=厘米。
6.如图3，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式．变式：
书上P29-13题如图4．
C
ABC
BS1
S2
S3
图4
17.1勾股定理（3）
学习目标:
1、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；
并在数轴上表示无理数。
2、体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力。
3、培养数形结合的数学思想，并积极参与交流，并积极发表意见。
利用勾股定理在数轴上表示无理数。
确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。
一.预习新知（阅读教材第26至27页，并完成预习内容。
）
1.探究：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？
2.分析：
如果能画出长为_______的线段，就能在数轴上画出表示的点。
容易知道，长为2的线段是两条直角边都为______的直角边的斜边。
长为的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？
利用勾股定理，可以发现，长为的线段是直角边为正整数_____、______的直角三角形的斜边。
3.作法：
在数轴上找到点A，使OA=_____，作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=_____，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点。
4.在数轴上画出表示的点？
（尺规作图）
二.课堂展示
例1已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
例2已知：
如图，等边△ABC的边长是6cm。
⑴求等边△ABC的高。
⑵求S△ABC。
1.完成书上P27第1题
2．填空题
⑴在Rt△ABC，∠C=90°
，a=8，b=15，则c=。
⑵在Rt△ABC，∠B=90°
，a=3，b=4，则c=。
⑶在Rt△ABC，∠C=90°
，c=10，a：
b=3：
4，则a=，b=。
（4已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。
2．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形面积。
1．已知直角三角形中30°
角所对的直角边长是2cm，则另一条直角边的长是（）
A.4cmB.4cmC.6cmD.36cm2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42B．32C．42或32D．37或33
3．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（
A.9分米B.15分米C.5分米D.8分米4．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假
设2步为1米），却踩伤了花草．
5.等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为.
6.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．
7．已知：
如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=60°
，CD=1cm，求BC的长。
B
图17.2-2
五．小结与反思
17.2勾股定理的逆定理
（一）
学习目标
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
掌握勾股定理的逆定理及简单应用。
勾股定理的逆定理的证明。
一.预习新知（阅读教材P31—33,完成课前预习）
1.三边长度分别为3cm、4cm、5cm的三角形与以3cm、4cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？
你是怎样得到的？
2.你能证明以6cm、8cm、10cm为三边长的三角形是直角三角形吗？
3.如图17.2-2，若△ABC的三边长a、b、c满足222
cba
=+，试证明△ABC是直角三
角形，请简要地写出证明过程．
4.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？
（1）什么叫互为逆命题
（2）什么叫互为逆定理
（3）任何一个命题都有_____，但任何一个定理未必都有__5.说出下列命题的逆命题。
这些命题的逆命题成立吗？
（1）两直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
二．课堂展示
例1：
判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）17,8,15===cba；
（2）15,14,13===cba
．
（3）25,24,7===cba；
（4）5.2,2,5.1===cba；
1.完成书上P33练习1、22.如果三条线段长a,b,c满足222
bca
-=，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？
3.A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？
4.思考：
我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？
一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？
1.若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．
2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？
此三角形的形状为？
3.已知：
如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·
BD。
△ABC是直角三角形。
五.小结与反思
12km5km
D
图17.2-317.2勾股定理逆定理
（2）
1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。
2.培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。
3.在不同条件、不同环境中反复运用定理，达到熟练使用，灵活运用的程度。
4.培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理的应用一.预习新知
如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：
四边形ABCD的面积。
归纳：
求不规则图形的面积时，要把不规则图形二.课堂展示
例1.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
例2．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。
小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°
。
1.完成书上P33练习3
2.一个三角形三边之比为3：
4：
5，则这个三角形三边上的高值比为
A3:
4:
5B5:
3C20:
15:
12D10:
8:
23.如果△ABC的三边a,b,c满足关系式2-+ba+（b-18）2+-c=0则△ABC是三角形。
四.课堂检测
1.若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）
A．等腰三角形；
B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形；
D．等腰直角三角形。
DE
2.若△ABC的三边a、b、c，满足a：
b：
c=1：
1：
2，试判断△ABC的形状。
3.已知：
如图，四边形ABCD，AB=1，BC=43，CD=4
13，AD=3，且AB⊥BC。
4.小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。
小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。
5.一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。
6.已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△ABC的形状。
7.如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｆ为ＤＣ的中点，Ｅ为ＢＣ上一点且ＥＣ＝4
1
ＢＣ，求证：
∠ＥＦＡ＝90。
勾股定理复习
（1）
1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.
3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：
掌握勾股定理及其逆定理.
理解勾股定理及其逆定理的应用.一.复习回顾
在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；
本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：
1.勾股定理：
（1直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：
————————————.这就是勾股定理．（2勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．
22222222,,bacacbbca+=-=-=,2222,acbbca-=-=．
勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．
2.勾股定理逆定理
“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题
提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c（a2+b2=c2
，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.
3.勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）在数轴上作出表示n（n为正整数）的点．
勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：
利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．
（3三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若2
22cba=+，则三角形是直角三角形；
若2
cba>
+，则三角形是锐角三角形；
<
+cba2
，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．
如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?
例2：
如图，在四边形ABCD中，∠C=90°
，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：
AD⊥BD．
1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（
A．7，24，25B．3
21，421，521C．3，4，5D．4，721，82
12.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（
A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍3.三个正方形的面积如图1，正方形A的面积为（）
A．6B．36C．64D．8
4.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（）
A．6cmB．8．5cmC．
13
30cmD．1360cm
5.在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1（n＞1，且n为整数，这个三角形是直角三角形吗？
若是，哪个角是直角
1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）
A．50cmB．100cmC．140cmD．80cm
2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）
A．8cmB．10cmC．12cmD．14cm3．在△ABC中，∠C＝90°
，若a＝5，b＝12，则c＝＿＿＿
4．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿．5．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．
6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿
7．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．
8．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？
勾股定理复习（2
1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题．
2.经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理．
3.熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发爱国主义思想，培养良好的学习态度．
重点：
掌握勾股定理以及逆定理的应用．难点：
应用勾股定理以及逆定理．考点一：
已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为______．2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．在数轴上作出表示的点．
4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求①AD的长；
②ΔABC的面积．
考点二：
利用列方程求线段的长
图3
1．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
2.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离
为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．
考点三：
判别一个三角形是否是直角三角形1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：
（1）3、4、5
（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有
2.若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2
（a>
b>
0,则这个三角形是.
3.如图1，在△ABC中，AD是高，且CDBDAD2
⋅=，求证：
△ABC为直角三角形。
考点四：
灵活变通1.在Rt△ABC中，a，b，c分别是三条边，∠B=90°
，已知a=6，b=10，则边长c=
2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72
cm，82
cm
的正方形的面积为_________2
cm．
3.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm
4.如图：
带阴影部分的半圆的面积是（π取3）
5.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是
6.若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为cm,则这个三角形是______________________．
7.如图：
在一个高6米，长10则该地毯的长度至少是考点五：
能力提升
1.已知：
如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．求证：
AB2-AC2=BC（BD-DC．
E
BC
2.如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且BCCE4
．你能说明∠AFE是直
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