中考数学临考冲刺专题练测切线的相关证明与计算.docx

中考数学临考冲刺专题练测切线的相关证明与计算.docx

《中考数学临考冲刺专题练测切线的相关证明与计算.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学临考冲刺专题练测切线的相关证明与计算.docx（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

中考数学临考冲刺专题练测切线的相关证明与计算

切线的相关证明与计算

1、如图所示,直线DP和☉O相切于点C,交直径AE的延长线于点P,过点C作AE的垂线,交AE于点F,交☉O于点B,作平行四边形ABCD,连接BE,DO,CO.

（1）求证：

DA=DC;

（2）求∠P及∠AEB的大小.

第1题图

（1）证明：

∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，CB⊥AE，

∴AD⊥AE，∴∠DAO＝90°，

又∵直线DP和☉O相切于点C，

∴DC⊥OC，

∴∠DCO＝90°，

∴在Rt△DAO和Rt△DCO中，

，

∴Rt△DAO≌Rt△DCO（HL），

∴DA＝DC；

（2）解：

∵CB⊥AE，AE是⊙O的直径，∴CF＝FB＝BC，

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，

∴CF＝AD，

又∵CF∥DA，∴△PCF∽△PDA，

∴＝＝，即PC＝PD，DC＝PD.

由

（1）知DA＝DC，∴DA＝PD，

∴在Rt△DAP中，∠P＝30°.

∵DP∥AB，∴∠FAB＝∠P＝30°，

又∵∠ABE＝90°，

∴∠AEB＝90°－30°＝60°.

2、如图，已知AO为Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，＝，以O为圆心，OC为半径的圆分别交AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F.

（1）求证：

AB是⊙O的切线；

（2）求tan∠CAO的值；

（3）求

的值.

第2题图

（1）证明：

作OG⊥AB于点G，如解图．

∵在△OGA和△OCA中，

，

∴△OGA≌△OCA（AAS），

∴OG＝OC，

∴OG为⊙O的半径，

∵OG⊥AB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）解：

设AC＝4x，BC＝3x，⊙O半径为r，则AB＝5x，由切线长定理知，

AC＝AG＝4x，故BG＝x.

∵tan∠B＝OG∶BG＝AC∶BC＝4∶3，

∴OG＝BG＝x，

∴tan∠CAO＝tan∠GAO＝＝；

（3）解：

在Rt△OCA中，AO＝＝x，

∴AD＝OA－OD＝（－1）x.

如解图，连接CD，则∠DCF＋∠ECD＝∠ECD＋∠CEF，

∴∠DCF＝∠CEF，

又∠CEF＝∠EDO＝∠FDA，

∴∠DCF＝∠ADF，

又∵∠FAD＝∠DAC，第2题解图

∴△DFA∽△CDA，

∴DA∶AC＝AF∶AD，

即（－1）x∶4x＝AF∶（－1）x，

∴AF＝（11－2）x，∴CF＝，

∴＝.

3、如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE交于点F.

（1）求证：

BC是⊙O的切线；

（2）若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若PA＝AO，DE＝2，求PD的长．

第3题图

（1）证明：

∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，

∴∠EAB＋∠EBA＝90°，

∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE，

∴∠EAB＝∠CBE，

∴∠ABE＋∠CBE＝90°，∴CB⊥AB，

∵AB是⊙O的直径，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：

∵BD平分∠ABE，∴∠ABD＝∠DBE，

如解图，连接DO，

∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠EBD＝∠ODB，第3题解图

∴OD∥BE，∴＝，

∵PA＝AO，∴PA＝AO＝OB，

∴＝，∴＝，

∴＝，

∵DE＝2，∴PD＝4.

4、如图,CD是⊙O的直径,点B在⊙O上,连接BC、BD,直线AB与CD的延长线相交于点A,AB2=AD·AC,OE∥BD交直线AB于点E,OE与BC相交于点F,

（1）求证：

直线AE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3,cosA=

求OF的长.

第4题图

（1）证明：

如解图，连接OB，

∵AB2＝AD·AC，∴＝，

∵∠A为公共角，∴△ABD∽△ACB，

∴∠ABD＝∠ACB，

在⊙O中，OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠OBC＝∠ABD，

∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，

∴∠OBC＋∠OBD＝90°，∴∠OBD＋∠ABD＝90°，

即∠OBA＝90°，

∵点B为AE上一点，且OB为⊙O的半径，

∴AE是⊙O的切线；

第4题解图

（2）解：

在Rt△ABO中，OB＝3，cosA＝＝，

∴设AB＝4k，OA＝5k（k>0），

又OA2＝AB2＋OB2，

∴（5k）2＝（4k）2＋32，

∴k2＝1（k>0），

∴k＝1，即AB＝4，OA＝5，

∵OD＝3，

∴AD＝OA－OD＝2，

∵OE∥BD，

∴＝，即＝，

∴BE＝6.

在Rt△OBE中，

OE＝＝＝3，

∵∠CBD＝90°，BD∥OE，

∴∠EFB＝90°，

∵S△OBE＝OB·BE＝OE·BF，

∴BF＝＝＝，

在Rt△OBF中，由勾股定理可知，

.

5、如图，在△ABD中，AB=AD,以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD于点E，CG⊥AD于点G.

（1）求证：

GC是⊙F的切线；

（2）若△BCF的面积为15，求△BDA的面积；

第5题图

（1）证明：

∵AB＝AD，FB＝FC，

∴∠B＝∠D，∠B＝∠BCF，

∴∠D＝∠BCF，

∴CF∥AD，

∵CG⊥AD，∴CG⊥CF，

又∵FC为⊙F的半径，

∴GC是⊙F的切线；

（2）解：

由

（1）得：

CF∥AD，

∴△BCF∽△BDA，

∵＝，∴S△BCF∶S△BDA＝1∶4，

∴S△BDA＝4S△BCF＝4×15＝60.

6、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD＝45°.

（1）若AB＝4，求的长；

（2）若＝，AD＝AP，求证：

PD是⊙O的切线．

第6题图

（1）解：

如解图，连接OC、OD，

∵∠CAD＝45°，∴∠COD＝2∠CAD＝90°，

∵AB＝4，∴OC＝AB＝2.

∴的长为×π×2＝π；

第6题解图

（2）证明：

∵＝，

∴∠BOC＝∠AOD.

∵∠COD＝90°，

∴∠AOD＝＝45°.

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD.

∵∠AOD＋∠ODA＋∠OAD＝180°，

∴∠ODA＝＝67.5°.

∵AD＝AP，

∴∠ADP＝∠APD.

∵∠CAD＝∠ADP＋∠APD＝45°，

∴∠ADP＝∠CAD＝22.5°.

∴∠ODP＝∠ODA＋∠ADP＝90°.

又∵OD是⊙O的半径，

∴PD是⊙O的切线．

7.如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C.

（1）求证：

PQ是⊙O的切线；

（2）已知⊙O的半径为2，若过点O作OE⊥AD，垂足为E，OE＝，求弦AD的长.

第7题图

（1）证明：

连接OT，如解图①所示，

∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA，

∵AT平分∠BAD，

∴∠OAT＝∠CAT，第7题解图①

∴∠OTA＝∠CAT，∴OT∥AC，

∵PQ⊥AC，∴PQ⊥OT，

∵OT是⊙O的半径，

∴PQ是⊙O的切线；

（2）解：

如解图②所示，

∵OE⊥AD，∴AE＝DE，∠AEO＝90°，

∴AE＝＝＝1，第7题解图②

∴AD＝2AE＝2.

8.　如图，∠OPA＝∠APB，⊙O与PA相切于点C.

（1）求证：

直线PB与⊙O相切.

（2）PO的延长线与⊙O相交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4，求CE的长.

第8题图

（1）证明：

如解图，连接OC，作OD⊥PB于D点．

∵⊙O与PA相切于点C，

∴OC⊥PA.

∵点O在∠APB的平分线上，

OC⊥PA，OD⊥PB，

∴OD＝OC，即OD为⊙O的半径，

∴直线PB与⊙O相切；

第8题解图

（2）解：

如解图，设PO交⊙O于F，连接CF.

∵OC＝3，PC＝4，

∴PO＝5，PE＝8.

∵⊙O与PA相切于点C，

∴∠PCF＋∠FCO＝∠FCO＋∠OCE，

又∵∠E＝∠OCE，

∴∠PCF＝∠E.

又∵∠CPF＝∠EPC，

∴△PCF∽△PEC，

∴CF∶EC＝PC∶PE＝4∶8＝1∶2.

∵EF是直径，

∴∠ECF＝90°.

设CF＝x，则EC＝2x，

则x2＋（2x）2＝62，解得x＝，

则CE＝2x＝.