巧用勾股定理解决折叠与展开问题Word格式文档下载.doc

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4．有一长方形纸片ABCD，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF.

（1）求证：

△DEF是等腰三角形；

（2）若AD＝3，AB＝9，求BE的长．

5．有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm.

（1）如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD＝________cm；

（2）如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M，N分别在AC，BC上，则AM2，BN2与MN2之间有怎样的数量关系？

并证明你的结论．

类型2　利用勾股定理解决立体图形的展开问题

6．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是（　　）

A．6cmB．12cm

C．13cmD．16cm

7．如图，在一个长为2m，宽为1m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是____________m（精确到0.01m）．

8．如图，长方体的高为5cm，底面长为4cm，宽为1cm.

（1）点A1到点C2之间的距离是多少？

（2）若一只蚂蚁从点A2爬到C1，则爬行的最短路程是多少？

9．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm，底面周长为18cm，在杯外离杯底4cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4cm的点A处．

（1）求蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离；

（2）若将蜂蜜的位置改为在杯内离杯底4cm的点C处，其余条件不变，请你求出此时蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短距离．

参考答案

1．∵点C′是AB边的中点，AB＝6，∴BC′＝3.由图形折叠的性质，知C′F＝CF＝BC－BF＝9－BF.在Rt△C′BF中，BF2＋BC′2＝C′F2，∴BF2＋9＝（9－BF）2.解得BF＝4.

2．∵四边形ABCD是长方形，AD＝8，∴BC＝8.∵△AEF是由△AEB翻折而成，∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形．∴CE＝BC－BE＝8－3＝5.在Rt△CEF中，CF＝＝＝4.设AB＝x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即（x＋4）2＝x2＋82.解得x＝6.∴AB＝6.

3．依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，在Rt△ABE中，AE＝OA＝5，AB＝4.∴BE＝3，从而CE＝2.∴E点坐标为（2，4）．在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2.又∵DE＝OD，∴（4－OD）2＋22＝OD2.解得OD＝.∴D点坐标为（0，）．

4．

（1）证明：

由折叠的性质，得∠DEF＝∠BEF.∵AB∥DC，∴∠BEF＝∠DFE.∴∠DEF＝∠DFE.∴DE＝DF，即△DEF是等腰三角形．

（2）由折叠的性质，得ED＝EB.设BE＝x，则DE＝x，AE＝AB－x＝9－x.在Rt△ADE中，AD＝3，AD2＋AE2＝DE2.∴32＋（9－x）2＝x2.解得x＝5.∴BE＝5.

5．AM2＋BN2＝MN2.证明：

过点B作BP∥AC交MH延长线于点P，连接NP，∴∠A＝∠PBH，∠PBN＋∠C＝180°

，即∠PBN＝90°

.∵H是AB的中点，∴AH＝BH.在△AMH和△BPH中，

∴△AMH≌△BPH（ASA）．∴AM＝BP，MH＝PH.又∵NH⊥MP，∴MN＝NP.又∵在Rt△BNP中，BP2＋BN2＝NP2.∴AM2＋BN2＝MN2.

6．C　

7.2.60

8．

（1）∵长方体的高为5cm，底面长为4cm，宽为1cm，

∴A2C2＝＝（cm）．

∴A1C2＝＝（cm）．

（2）如图1所示，A2C1＝＝5（cm）．

如图2所示，A2C1＝＝（cm）．

如图3所示，A2C1＝＝2（cm）．

∵5＜2＜，

∴一只蚂蚁从点A2爬到C1，爬行的最短路程是5cm.

9．

（1）如图，

由题意可，得CD＝9cm，AD＝12－4－4＝4（cm），

∴AC＝＝（cm）．

答：

蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离为cm.

（2）如图，

将杯子侧面展开，作A关于EQ的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，

则A′D＝×

18＝9（cm），CQ＝12－4＝8（cm），CD＝4＋8＝12（cm）．

在Rt△A′DC中，由勾股定理，得A′C＝＝＝15（cm）．

蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短距离为15cm.