高等数学作业题集版第六章多元函数微分学答案.docx
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高等数学作业题集版第六章多元函数微分学答案
高等数学作业题集2013版第六章多元函数微分学答案
一多元函数的基本概念
1．求下列定义域并画出草图：
x2y21
（1
）zxy）
（2）zarcsinarccos2
2
4xy
（3
）zln（yx）
（4）u
22
解:
（1）{（x,y）x0,yx};
（2）{（x,y）xy4};
***-*****
（3）{（x,y）yx,x0,xy1}（4）{（x,y,z）xyz,xyz1}
y22xyuuv
y解：
令xyu,v，由此得：
x
x1v1v
2．已知f（xy,）xy，求f（x,y）
u2uv2u2（1v）x2（1y）
）（）故代入得：
f（u,v）（即：
f（x,y）1v1v1v1y
3．求下列各极限
（1）
1xy（2
）lim
（x,y）（0,1）x2y2（x,y）（0,0）lim
x2y2sin（xy）（3）lim（4）lim4
xxy4（x,y）（2,0）yy
解：
（1）
1xy1
1；
（x,y）（0,1）x2y21lim
（2
）
11
lim
（x,y）（0,0）（x,y）422lim
sin（xy）sin（xy）sin（xy）
limxlimlimx2
（x,y）（2,0）（x,y）（2,0）xy0x2yxyxylim
（3）
x2y2x2y***-*****
（4）由不等式04而（）lim（22）0*****xxy2xy2yx2yxy
x2y2
0由加逼准则有lim4
xxy4y
4．证明下列极限不存在
x2yx2y
（1）lim
（2）lim
（x,y）（0,0）xy（x,y）（0,0）x4y2
证明:
（1）当（x,y）沿ykx（k1）趋于（0,0）时,
x2yx2kx12k
lim
（x,y）（0,0）xyx0xkx1kykx
lim
所以k取不同值,上面的极限就有不同的结果,故原极限不存在.
x2ykx4k
lim
（2）当（x,y）沿ykx趋于（0,0）时,lim2（x,y）（0,0）x4y2x0x4k2x41k2
2
ykx
所以k取不同值,上面的极限就有不同的结果,故原极限不存在.
二偏导数
1．求下列函数的偏导数
yx2y2
）（3）zexysin（xy）
（1）z
（2）zln（x2xxy
x2y2
（4）x（5）uxysin
z
yz
（6）f（x,t）解:
（1）z
xat
xat
（u）du为连续函数
z1y2xyx
zx12yyx
xy
yx
y2z2x2y
（2）yxxx（2x2y）2x
1
（3）
z1
2
yyx2xy2x
1zzxy
xexysin（xy）exycos（xy）yexysin（xy）ecosx（y）xy
（4）
zu
yzxy1xzu
xylnxzyz1yzu
xylnxyzlnyz
ux2y21x2y2
ysinxycos（5）xzzz
ux2y2x2y2ux2y242x2y2
xycosxsinxycos
zz2zyzzz
（6）fx（xat）（xat）2
．求函数f（x,y）exycos（
fta[（xat）（xat）]
2
x）（y1，1）处的偏导数fx解
:
f
y
（1,1）
（1,1）
f（x,1）xf（1,y）
y
x
x1（ecos
*****（y1）（y1
y1y
（x,y）（0,0）（x,y）（0,0）
x
exsin
x）
x1
e
y1
4
xy2
3．设函数f（x,y）x2y4
0
（1）试计算fx（0,0），fy（0,0）
（2）讨论函数f（x,y）在（0，0）是否连续解:
（1）由偏导数的定义
f（0x,0）f（0,0）（x）2
fx（0,0）limlim0
x0x0xx
0（y）2
f（0,0y）f（0,0）02（y）4
fy（0,0）limlim0
y0y0yy
xy2ky4k
lim
（2）因为lim2,其极限值随k的不同而不同,所以极限2y0xy4y0k2y4y4k12
xky
（x,y）（0,0）
limf（x,y）不存在,从而函数f（x,y）在（0，0）处不连续.
z4
．曲线（1,1处的切线与y轴正向的夹角是多少？
x1
解:
设所求的角为,由偏导数的几何意义知
:
tan
zy
，所以.
65．设f（x,y,z）xy2yz解:
2
zx
2
，求fxx（0,0,1），fxz（1,0,2），fyz（0,1,0），fzzx（2,0,1）
fxy22zx
fxx2zfxz2x
2fxz
fy2xyz2fyz2zfz2yzx2（1,0,2）fy2z
（0,1,f0z）zx0
（
fzz2yfzzx0fxx（0,0,1）
23x23
6．设xy3xz，求，2，，3，
xyxxyzxyx
3
3
22
u1
解:
3x2y36xz2
xy2u19x2y22
xyy
2u
6xy36z22x3u
6y3x
3
3u
0
xyz
2r2r2r2
7
．验证：
r222
xyzr
r
证明
:
x
2r22y2z2
23xr2rx2z2
由对称性有:
y2r32rx2y2
z2r3
2r2r2ry2z2x2z2x2y22（x2y2z2）2r22
223*****xyzrrrrrr
三全微分及其应用
1．求函数z
xy
当x2,y1,x0.01,y0.03时的全增量和全微分
x2y2
解z
（20.01）（10.03）21
0.02822222
（20.01）（10.03）21
zy（y2x2）2x（xy2）2dz
zx（y2x2）
2
y（xy2）2
2
2
zz（yx）xy2（xyyx）22xy（xy）
1
0.027836
dz
x2y1x0.01y0.03
2.求下列函数的全微分
（1）uxyyzzx
（2）zarcsin
x
y
22
（3）zexysin（xy）（4）uxy3xz
33
xy
解
（1）
uy
xyyzzx（lnz）xx
y
z
x
uz
xyyzzx（lnx）yyzy
x
lnx）（
z
ux
xyyzzx（lny）zz
zlnz）d（duxy[
z
xyx
ln
y）dz]
（2）
zy
dz
zz
dxdy
xy
2
（3）
zzxy
xexysin（xy）exycos（xy）yexysin（xy）ecosx（y）xy
xy
y
y）xecosx（
dz[xesin（xy）d]x
xy
[yesinx（yxy）e
（ydycoxs
（4）
u13x2y36xz2xy
2
3
2
ux
3x3y22yyu
6x2zz
）dy62xzdz
du（3xy6xz
12x）dx（33xyy2
3
．证明函数f（x,y）证明因为
在点（0,0）处连续且偏导数存在，但不可微
limf（x,y）x0y0
x0y0
0f（0,0）,
所以f（x,y）在点（0,0）处连续.又
x0
lim
f（0x,0）f（0,0）
0,
x
所以fx（0,0）0.同样的fy（0,0）0,
所以f（x,y）
在点（0,0）处偏导数存在，而
lim
0
f[fxxfyy]
lim
xy
考虑点p（x,y）沿直线yx趋于（0,0）时,有
xylim
lim
x0y
0在点（0,0）处不
即f[fx（0,0）xfy（0,0）y]不是的高阶无穷小,
故f（x,y）可微.
4.在”充分”，”必要”，”充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内.
（1）f（x,y）在点（x,y）可微分是f（x,y）;f（x,y）在点（x,y）连续是f（x,y）在该店可微的必要条件.
（2）zf（x,y）在点（x,y）的偏导数
zz,存在是f（x,y）该点可微分的必要条件,xy
zz,存在的充分条件.xy
zf（x,y）在点（x,y）可微分是f（x,y）在该点的偏导数
（3）函数zf（x,y）在点（x,y）的偏导数
zz,连续是是f（x,y）该点可微分的充分条件.xy
2z2z
（4）函数zf（x,y）的两个二阶混合偏导数,在区域D内连续是这两个二阶混
xyyx2z2z
合偏导数,在区域D内相等的充分条件.
xyyx
四多元复合函数的求导法则
1.设zxyxy，xe，ysint，求解:
2
2
t
dzdt
dzzdxzdy（2xy）et（2yx）cost（2etsint）et（2sintet）costdtxdtydt
dueax（yz）
zbcosxyasinx2.设u，其中，（a，b为常数），求22
dxab
duuudyudzeax（yz）eaxeax
解:
a2222acosx22（bsinx）
dxxydxzdxababab
eax2
（asinxabcosxacosxbsinx）2
2
ab
3.设zarctan
vzz，vxy，uxy，求，uxy
解:
zzuzvvuuvy
2222222xuxvxuvuvuvxy2zzuzvuv22yuyvyuv
x2xy
uuu，,r
2
222
4.设uxyz，xrcossin，yrsinsin，zrcos，求
解:
uuxuyuz2xcossin2ysinsin2zcosrxryrzr
2
2rcoss2inr22sin
2
sinr2
2cosr
2
2srin
2
2cros2
uuxuy2x（rsinsin）2yrcossinxy
2r2cossinsin22r2cossinsin20
uuxuyuz2xrcoscos2yrsincos2zr（sin）xyz
2r2cos2sincos2r2sin2sincos2r2sincos0
5.设uf（x2y2,exy），其中f具有一阶连续偏导数，求
uu，xy
解:
u
2xf1'yexyf2'xu
2yf1'xexyf2'y
6.设wf（xy,yz），其中f为可微函数，试验证：
xwxzwzywy解:
wxyf1
'
wyxf1'zf2'
'
'
wzyf2'
则:
xwxzwzxyf1zyf2ywy
u2u
7.设uyf（xy,xy），其中f为二阶连续可导，求，
xxy
2
解:
u
y[f1'2xyf2']x
2''xx2f'21f22
2u'
f1'2xy2f'[y1'f1
xy
'''
f1'4xy2fy（1f1
2
xy2
（xy2'1'f
2
''
）2]x2f
2
x）y12''f2
3
x2y22f
12z
8.若zf（xy）yf（xy），其中f为二次可微连续函数，试求
xxy
解:
z11
2f（xy）f'（xy）yyf'（xy）xxx
2z111
2f'（xy）xf''（xy）xyf'（xy）f'（xy）yf''（xy）xyxxx
yf''（xy）f'（xy）yf''（xy）
五方向导数与梯度
1．求函数zx2y2在（1,1）沿与x轴正向成60方向的方向导数。
解
z
2xxz12yel（cos60,sin60）（,y22zl
zx
（1,1）cos60
（1,1）
zy
（1,1）sin6012．试求uexyzx2y2在点（1,1,1）处沿曲线xt,切线正方向的方向导数。
解因为x1
'
y2t21,zt3在点（1,1,1）处
y'4tz'3t2所以s
（1,4t,3t2），
s
（1,1,1）
（1,4,3）
从而曲线在点（1,1,1）处切线方向的方向余铉为：
cos
又因为
u
x
（1,1,1）
（yzexyz2x）
（1,1,1）
e2，
uy
（1,1,1）
（xzexyz2y）
xye
xyz
（1,1,1）
e2，
uz
从而
（1,1,1）（1,1,1）
e，
ul
（1,1,1）
ux
（1,1,1）cos
uy
（1,1,1）cos
uz
（1,1,1）cos
222
3．求函数uxyz在球面xyz1上点M0（0,0,1）处的外法线方向的方向
导数。
解令F（x,y,z）xyz1Fx2x
2
2
2
0,0,1）在M0（Fy2yFz2z，
的外
法线方向的方向向量为（0,0,2），方向余铉为：
cos0,cos0,cos1
ul
（0,0,1）
ux
yx
（0,0,1）cos
uy
（0,0,1）cos
uz
（0,0,1）
cos1
4．设f（x,y）e，求grade.
yy
fyxf1x解2e,e则
xxyxyy
yx1x
grade2eiej
xx
y
x
yx
5．设f（x,y,z）xsin
的方向导数的最大值。
2
y
eyz，ardf求g2
102）（，并求函数f（x,y,z）在点（1,0,2）处
解gradf（fx,fy,fz）（2x,
1y5
coszeyz,yeyz）grad（f1,0,2）2,,0）222
f（x,y,
z）在点（1,0,2）处的方向导数的最大值为:
gradf（1,0,2）
2
2
2
6．设el（cos,sin），求函数f（x,y）xxyy在点（1,1）沿方向l的方向导数，并
分别确定角，使这导数有
（1）最大值；
（2）最小值；（3）等于0。
解
f
2xyxff
x2y
ly
（1,1）
（2xy（1,1）
cos（x
）
（1,1）
sin
因为cossin
（1）
）可见
4
45
（2）时,方向导数最小,最小值为437
（3）及时,方向导数等于0.
44
时,方向导数最大,
六隐函数及其微分法
1．设yexlny1，求
x
dydx
解:
设F（x,y）yelny1
Fxye
x
Fx1dyyex
Fye则
1ydxFyx
e
y
x
2．设exyxy，求
dxdy
xy
解:
F（x,y）e
xy
xyFxeyFye
xy
Fydxexyx
x则xy
dyFxey
z2z2z
3．设yzzxxy1，求，，2
xxxy
解:
F（x,y,z）yzzxxy1Fxzy
FyzxFzyx
Fzzy
xxFzyx
Fyzzx
yFzyx
（1
zzx
）（xy）（yz）
（1）（xy）（yz）
2zyyx
222
（xy）（xy）（xy）
2zzy
（）xyyyx
zyz（xy）（yz）（xy）（yz）
2zzy2（yz）yx（）x2xyx（xy）2（xy）2（xy）2
4．设xx（y,z），yy（x,z），zz（x,y）都是由方程F（x,y,z）0所确定的具有连续偏导数的函数，试证明：
xyz
1yzx
证明:
因为
FyxyFx
Fy
zzFyFz
xxFz
所以
FyFFxyz
（）（z）（x）1yzxFxFyFz
5．设由方程Fxy,yz,zx0确定函数zzx,y,求
zz，.xy
解
Fz
xxFz
Fyz
而FzF2'F3'yFz
FxF1'F3'FyF1'F2'
FxF1'F3'z
则xFzF2'F3'FyF1'F2'z
yFzF2'F3'
6．求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数
x2y2z250dydz
（1）设求，
dxdxx2y3z4
解:
方程组两边同时对x求导:
dy3xzdydz2x2y2z0dx3y2zdxdx
得:
dydz1230dzy2xdxdxdx3y2z
（2）设
uf（ux,vy）
2
vg（ux,vy）
其中f、g具有一阶连续偏导数，求
uv，xx
解:
方程组两边同时对x求偏导:
uv'u'
（xu）ff21xxx
得:
vuv
（1）g'2vyg'
12
xxx
u
'
uuf1'（12yvg2）f2'g1'x（1xf'）（12yvg'）f'g'1221
''''
（1xf）ggufv1111
''''x（1xf1）（12yvg2）f2g1
7．设xecosv，yeusinv，zuv，试求
zz
，xy
解:
zzuzvuvzzuzv
要求,xuxvxxxyuyvy
xeucosv则方程组两边同时对x求偏导,有:
u
yesinv
vuuu
1ecosve（sinv）xx
得:
uv0eusinveucosv
xxucosv
u
uvxe
要求,
vsinvyyxeu
u
xecosv
则方程组两边同时对y求偏导,有:
u
yesinv
vuuu
0ecosve（sinv）yy
得:
uv1eusinveucosvyyusinv
yeu
vcosveuy
zzuzvcosvsinv
vuu（u）eu（vcosvusinv）xuxvxee
zzuzvsinvcosvvuuueu（vsinvucosv）yuyvyee
七多元函数微分学的几何应用
1．求螺旋线xacos,解:
yasin,zb在点（a,0,0）处的切线与法平面方程。
dz
b,因（a,0,0,）对应于0d
dx
asind0
dyd
dy
acosda
dzd
dxd
000
xa0
b,所以在点（a,0,0,）处的切线方程为yz
ab
法平面方程为a（y0）b（z0）0即aybz0.
222
xyz6
2．求曲线在点（1,1,2）处的切线方程与法平面方程。
22
zxy
222
xyz6解:
由可确定两个一元隐函数,yy（x）,zz（x）,于是曲线在点（1,1,2）22
zxy
处的切向量为（1,
dydz
）dxdx
（1,1,2）
.方程组两边同时对x求导:
xdydydz2x2y2z0dyydxdxdx
得:
于是
dzdydx2x2ydz0dxdxdx
x1
y1z2
1
dzdx
x1y1z2
0
z2
从而切向量为（1,1,0）,从而曲线在点（1,1,2）处的切线方程为x1y1
11
法平面方程为x1（y1）0即xy0.3．求出曲线xt,解:
因为x'1
yt2,zt3上的点，使在该点的切线平行于平面x2yz4。
z'3t2,所以曲线上任一点处的切线向量为:
s（1,2t,3t2）
y'2t
而已知平面的法向量为:
n（1,2,1）.所以要使切线平行于平面,只需sn0
2
即:
14t3t0,得t1,t
1111.所以对应点为（1,1,1）或（,,）.*****
4．求曲面2x3yezln（z1）0在点（1,2,0）处的切平面与法线方程。
解:
令F（x,y,z）2xyeln（z1）
3
z
Fx6x2FyezF
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