特殊平行四边形教学设计案例.docx

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特殊平行四边形教学设计案例

§3．2特殊平行四边形

（一）、设计指导思想

“特殊平行四边形”主要研究的是矩形、菱形和正方形等的性质，判定以及相关结论的探索证明．在此，学生将进一步学习推理论证的方法，加深对图形的认识和理解，对证明意义的体会．

（二）、教材分析

在教学中，同样是；对于已探索过的命题的证明，应为学生的积极思考创造条件，鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思想印证明方法；而对于没有探索过的命题，要让学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，这样培养了学生的推理论证能力，达到了预期的目的．

（三）、学情分析

本学期是所有中考知识学习的重要阶段，学生没有象初一初二那么轻松，而是普遍感到紧张，中上的学生觉得课内的容易课外难，中上的学生感到疲于应付。

（四）、教学目标

（一）教学知识点

1．能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论．

2．能运用矩形的性质进行简单的证明与计算．

（二）能力训练要求

1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．

2．能够用综合法证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论．

3．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．

4．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．

（三）情感与价值观要求

通过学习矩形的性质，让学生从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一

般的关系，渗透集合的思想，培养学生的辩证唯物主义观念．

（五）、教法学法

教、学法设计

设计依据

教法

以探索导学法为主，启发引导式等多种教法相互穿插、综合运用。

突出以教师为主导，以学生为主体，以探索导学为主线的教学思想，发挥学生的个性，注重合作学习，依据不同的教学内容及学生实际情况灵活运用多种教法及学法。

学法

探究答疑贯穿始终，自学与合作学习相配合，观察与动手操作兼容并重。

（六）、媒体选择

媒体设计

设计意图

自制课件

贯穿教学始终，增强教学直观性和趣味性，适时突出重点，突破难点，适度加快教学进程，扩大教学容量。

（七）、教学程序

Ⅰ.巧设现实情境，引入新课

[师]上两节课我们探讨了平行四边形的性质定理及判定定理．下面我们来共同回忆总结：

[师生共析]（学生总结，教师补充）（出示投影片§3．2．1A）

已加一个四边形是平行四边形，则有：

对边平行

对边相等

对角相等

邻角互补

对角线互相平分

从两组对边分别平行

边两组对边分别相等的四边边形是

看一组对边平行且相等平行四边形

从角看：

两组对角分别相等

从对角线看：

对角线互相平分

[师]了解了平行四边形后，你还了解哪些特殊的平行四边形?

[生]特殊的平行四边形有矩形、菱形和正方形．

[师]还记得它们与平行四边形的关系吗?

能用一张图来表示它们之间的关系吗?

[生]有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；而有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．由此看来，矩形、菱形、正方形都是平行四边形，它们都是有特殊性质的平行四边形．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且也是特殊的矩形、特殊的菱形．所以可用下图来表示它们之间的关系：

（随学生的叙述，教师播放投影，使学生进一步了解它们的关系）

[师]它们既然是平行四边形，就具有平行四边形的性质．又因为它们是特殊的平行四边形，所以它们又具有各自的独特性质．

今天我们先来研究矩形的特殊性质．

Ⅱ．讲授新课

[师]前面我们已探讨过矩形的性质，还记得吗?

[生]矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．

[师]很好，那你能证明它们吗?

[生]能．

[师]好，大家先来独自证明，然后与同伴交流你的证明思路．

[生甲]已知四边形ABCD是矩形．

求证：

∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．

证明：

∵四边形ABCD是//四边形，

∴∠A＝90°，四边形ABCD是．

∴∠A=∠C，∠B＝∠D．

∠A+∠D＝180°．

∴∠B＝∠C：

∠D＝∠A＝90°．

[生乙]已知矩形ABCD，求证：

AC＝DB．

证明：

在矩形ABCD中，

∵∠ABC＝∠DCB＝90°，（矩形的四个角都是直角）

AB＝DC，（平行四边形的对边相等）

BC＝CB，

∴△ABC≌DCB．

∴AC=DB．

[师]很好，我们证明矩形的第一个性质时，用到了矩形的定义及平行四边形的性质；证明第二个性质时，用到了矩形的第一个性质、平行四边形的性质及全等三角形．我们通过逻辑推理证得了矩形的这两个性质，把它们称为定理．即（出示投影片§3．2．1B）

定理：

矩形的四个角都是直角．

∵矩形ABCD，

∴∠A=∠B＝∠C=∠D＝90°．

定理：

矩形的对角线相等．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝DB．

[师]接下来，我们来想一想，议一议．（出云投影片§3．2．1C）

如图，设矩形的对角线AC与BD的交点为E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?

它与AC有什么大小关系?

为什么?

[生]因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD也是平行四边形．因此，对角线AC与BD互相平分．即AE＝EC，BE＝DE．又因为四边形ABCD是矩形，所以AC＝BD，因此BE=

BD＝

AC．故BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线，它与AC的大小关系为BE＝

AC．

[师]很好，那你能用一句话概括你所得到的结论吗?

[生]直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

[师]这个结论是由矩形的性质得到的，因此我们可以把它称之为推论．那你能用推理的方法来证明它吗?

[生]能．

如图，已知BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线．

求证：

BE＝

AC．

分析：

要证明这个结论，可构造辅助图形——矩形，所以可以过点A作BC的平行线，也可以延长BE到D，使DE=BE，然后证明四边形ABCD是矩形．再利用“矩形的对角线相等且互相平分”即可证明结论．

证明：

过点A作BC的平行线与BE的延长线交于点D，连接CD．（如图）

则∠DAE＝∠BCE．

∵BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线，

∴AE＝EC．

又∵∠AED＝∠CEB，

∴△AED≌△CEB．

∴AD＝BC．

∵AD//BC．∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD是矩形．

∴AC=BD，BE＝ED＝

BD．

∴BE＝

AC．

[师]我们通过推理进一步得证了这个结论是正确的．那么我们以后就可直接应用了．

∵BE是Rt△ABC的AC上的中线，

∴BE＝

AC．

下面我们来通过一个例题进一步熟悉掌握矩形的性质（出示投影片§3．2．1D）[例题]如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2．5cm．求矩形对角线的长．

分析：

欲求对角线的长，由于∠BAD＝90°或∠ABC=90°，AB=4cm，则只要再找出Rt△ABD中一条直角边或一个锐角的度数，再从已知条件∠AOD＝120°出发，应用矩形的性质可知

∠ADB＝30°，这样即可求出对角线的长．

解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，且OA=OC=

AC，

OB＝OD=

BD，（矩形的对角线相等且互相平分）

∴OA＝OD．

∵∠AOD＝120°，

∴∠OAD＝∠ODA＝

＝30°．

∵∠DAB＝90°．（矩形的四个角都是直角）

∴BD＝2AB＝2×2．5＝5（cm）．

故这个矩形的对角线的长为5cm．

[师]同学们来想一想，还有没有其他的方法来解这个题呢?

[师]小明认为，这个题还可以这样想：

（出示投影片§3．2．1E）

∠AOD＝120°→∠AOB=60°→OA＝OB＝AB→AC＝20A＝2×2．5＝5（cm）．

[师]你能帮小明写出完整的解题过程吗?

[生]解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，且OA＝OC＝

AC，

OB＝OD＝

BD．（矩形的对角线相等且互相平分）

∴OA＝OB．

∵∠AOD＝120°，

∴AOB＝60°．

∴OA=OB＝AB．

∴AC＝2OA＝2×2．5＝5（cm）．

[师]已知一个四边形是矩形，那么就会得到一些相应的性质，如果要判定一个四边形是矩形，那除了根据定义判定外，还有没有其他的方法呢?

下面我们通过做练习来证明矩形的判定定理．

Ⅲ．课堂练习

（一）课本P84随堂练习1

1．证明：

有三个角是直角的四边形是矩形．

已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B=∠C＝90°．

求证：

四边形ABCD是矩形．

证明：

∵∠A＝∠B=90°，

∴∠A+∠B=180°．

∴AD//BC．

同理可证：

AB//CD．∴四边形ABCD是平行四边形．

∵∠A=90°，

∴//四边形ABCD是矩形．

Ⅳ．课时小结

我们这节课主要研究了矩形的性质，现在来归纳：

对边平行且相等

1．矩形四个角都是直角

对角线互相平分且相等

2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

一个角是直角的平行四边形

3．有三个角是直角的四边形是矩形

对角线相等的平行四边形

Ⅴ．课后作业

课本P85随堂练习1

课本P86,习题3．42、3

Ⅵ．活动与探究

1．取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下；

第一步：

先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图

（1）．

第二步：

再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′,得Rt△AB′E．如图

（2）．

第三步：

沿EB′，线折叠得折痕EF．如图（3）．

利用展开图（4）探究：

（1）△AEF是什么三角形?

证明你的结论．

（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?

请说明理由．

[过程]通过学生动手操作、观察、猜想，进而通过推理论证了猜想，来培养学生的创新能力和实践能力．

[结果]

（1）△AEF是等边三角形．

证明：

∵△ABE与△AB′E完全重合．

∴△ABE≌△AB′E，∠BAE＝∠1，由平行线等分线段定理得EB′＝B′F．

又∠AB′E＝90°，∴△AB′E≌△AB′F．

∴AE＝AF，∠1＝∠2=

∠BAD=30°．

∴△AEF是等边三角形．

（2）不一定．

由以上推证可知：

当矩形的长恰好等于等边△AEF的边AF时，即矩形的宽：

长＝AB：

AF＝sin60°=

：

2时能正好折出．

如果设矩形的长为a，宽为b，可知

当b≤

a时。

按此法一定能折出等边三角形；

当a

板书设计

§3．2．1特殊平行四边形

（一）

1．

2．定理：

矩形的四个角都是直角．

定理：

矩形的对角线相等．

证明：

3．议一议：

推论：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

4．例题：

5．课堂练习：

有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形．

6．课时小结

7．课后作业