北师版第6单元 组合图形的面积.docx

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北师版第6单元组合图形的面积

第6单元　组合图形的面积

本单元的主要内容有:

组合图形的面积,探索活动:

成长的脚印,公顷、平方千米。

《组合图形的面积》这部分教学内容在《数学课程标准》中属于“空间与图形”领域的知识。

生活中存在着大量的组合图形和不规则图形面积的计算问题,如何得出这类图形面积是本单元的学习内容。

在此之前,学生经历了长方形、正方形、平行四边形、三角形与梯形的面积的探索过程以及在方格纸上计算图形面积的过程,它们都将成为解决这类图形面积的基础。

本单元教材充分利用了转化的数学思想,鼓励学生通过多样化割补、估测、数方格等方法解决问题。

为六年级学习圆的面积的计算,以及圆柱的表面积计算方法的推导奠定了基础。

教材在《组合图形的面积》中,通过求“L”形客厅的面积,让学生理解数学中的转化思想,体会割补方法在组合图形中的应用,以丰富学生解决组合图形面积计算的经验。

在《探索活动:

成长的脚印》一节中,教材以“淘气出生时和两岁时,脚印的面积大约各是多少”为例,让学生感受不规则图形的特征,探索不规则图形面积的估计方法。

教材还安排了《公顷、平方千米》大面积单位的学习,通过学生原有的认知,引入大面积单位“公顷”“平方千米”,感受面积单位在生产、生活中的广泛应用,在掌握大面积单位的同时,体验数学与生活的联系。

1.在解决与图形面积相关的问题中,了解组合图形,经历用割补法探索组合图形面积计算的过程,进一步体会“转化”思想。

2.能正确计算简单的组合图形的面积,能估计不规则图形面积的大小,认识面积单位“公顷”“平方千米”,会进行简单的面积单位换算。

3.在探索图形面积计算方法的过程中,丰富图形变化的经验,发展空间想象力和思维的灵活性。

在研究组合图形的过程中进一步发展空间观念,经历割补法探索组合图形面积计算的过程,进一步体会“转化”思想。

经历把组合图形分割成基本图形的过程,掌握用已学过的知识解决组合图形面积的基本方法,体验解决方法的多样性。

感受成功的快乐,体验独立克服困难、解决数学问题的过程,培养克服困难的勇气,树立学好数学的信心。

【重点】　灵活运用割补法正确计算组合图形的面积;正确估计和计算不规则图形的面积;认识1公顷,1平方千米的大小,掌握公顷与平方米,公顷与平方千米之间的简单换算。

【难点】　根据组合图形的特点,把组合图形转化为学过的基本图形;在估计的过程中,丰富估计的策略和方法;建立1公顷的表象。

1.注重利用“转化”的数学思想,将组合图形和不规则图形转化为学过的图形后进行面积的计算或估算。

学生已经积累了丰富的图形面积计算的经验,但不能直接运用到组合图形和不规则图形面积的计算和估算中,为此,需要解决两个问题:

一是运用数学的转化思想,把组合图形和不规则图形转化为学生熟悉的基本图形;二是能根据给出的条件,运用面积公式直接计算基本图形的面积。

例如,教科书以“L”形组合图形的面积计算为例,呈现了“割”和“补”两种方法:

一是将组合图形分割成两个长方形或两个梯形;二是将组合图形添补为一个长方形。

运用割补法,将组合图形面积的计算转化为学过的基本图形面积的计算,体现了数学转化思想的运用。

在估计不规则图形的面积时,除了借助方格纸利用数方格的方法进行估计外,还可以将不规则图形看作近似的一个或几个基本图形。

例如,在“成长的脚印”中,把脚印看作一个梯形,从而把一个新的图形面积计算转化为一个学过的图形面积计算,使问题得以解决。

2.从解决不规则图形面积的估算过程中,注意在方格纸上数方格方法的运用。

以往的小学数学几何图形面积计算的内容,仅局限于计算规则图形的面积,根据《课标（2011年版）》中的要求,教材增加了估计不规则图形面积这一内容。

不规则图形面积的估算,对学生来说是一个完全陌生的问题,难以直接运用计算组合图形面积的方法加以解决,需要有一种新思路、新方法,为此,在教授这部分内容时,教师可提出借助方格纸,利用数方格的方法来估算不规则图形的面积。

例如,在“成长的脚印”中,教材提出了方格纸上淘气出生时和两岁时脚印面积大约各是多少的问题,让学生在方格纸上用数方格的方法估算不规则图形的面积。

1　组合图形的面积

本节课《组合图形的面积》的主要内容是教材围绕计算“L”形客厅的面积,设计了三个问题。

第一个问题是根据给定的“L”形客厅的数据,来估计客厅的面积,并提出把“L”形客厅转化为学过的图形计算其面积的想法;第二个问题是第一个问题的递进,意在解决怎样运用割补法把组合图形转化为学过图形的面积计算;第三个问题是第二个问题的拓展,提出了两种分割的方法,以丰富学生解决组合图形面积计算的经验。

1.在探索组合图形面积计算的方法中,体会割补法的应用。

2.能根据组合图形的条件,灵活运用割补法正确计算其面积。

3.能解决生活中与组合图形有关的实际问题,认识数学的价值。

【重点】　灵活运用割补法正确计算组合图形的面积。

【难点】　能根据各种组合图形的特点,把组合图形转化为已经学过的基本图形。

【教师准备】　PPT课件;长方形、正方形、平行四边形、梯形及三角形等基本图形若干;有关本节的素材。

【学生准备】　长方形、正方形、平行四边形、梯形及三角形等基本图形若干（或者七巧板）。

填上合适的面积单位。

一张邮票的面积是16（　　　　）

课桌面的面积是24（　　　　）

教室地面的面积是59（　　　　）

【参考答案】　平方厘米　平方分米　平方米

方法一

复习旧知导入

1.复习原有认知。

师:

同学们,如何计算这些图形的面积呢?

预设生:

长方形、正方形、平行四边形、梯形及三角形……

师:

怎样计算它们的面积?

（指名回答后,教师用字母公式表示长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形的面积计算公式）

师:

你们能计算下面图形的面积吗?

（PPT课件出示）

（学生独立计算后,教师组织学生进行全班核对,教师让学生说说计算上面这些图形的面积时要注意什么）

2.引入新知。

师:

请同学们拿出课前准备的纸片,用这些图形拼一个复杂的图形,并说一说像什么。

（学生拿出课前准备好的图形,进行拼图的操作活动,学生拼出后,教师抽出部分学生展示自己拼出的图形）

预设生:

我拼成了一只小燕子。

（学生根据操作回答）

……

师:

（PPT课件出示图案）老师也拼摆了几个图案,那么请你们看大屏幕上所拼的各种图形,它们有没有共同的特点?

预设生1:

虽然拼出的图形的形状不同,但都是由几个简单的图形拼出来的。

生2:

这些美丽的图案,都是由我们以前学习的三角形、正方形、平行四边形拼成的。

师:

（指着图形说）像这样由几个简单图形拼出来的图形,我们把它们叫作组合图形。

师:

你们能算出自己拼出的组合图形的面积吗?

预设生:

先把每个图形的面积算出来,再相加就行了。

师:

这节课,我们就学习组合图形面积的计算。

（板书课题:

组合图形的面积）

[设计意图]　复习与活动操作结合的导入方式,简洁高效。

方法二

课件引入。

（PPT课件出示完整的七巧板图

（1））

（1）　　　　　　　　　　　　

（2）

师:

同学们,这是什么?

预设生:

七巧板。

师:

对,七巧板。

七巧板发明于我国明清时代,19世纪流传到西方,被称为东方魔板。

师:

请看大屏幕（PPT课件出示七巧板图

（2））,七巧板里有哪些我们学过的图形?

预设生:

有三角形、正方形、平行四边形。

师:

你们知道七巧板为什么被称为东方魔板吗?

（老师告诉同学们,七巧板被称为东方魔板,别看它只有七块板,却可以拼出许多有趣的图形）（PPT课件出示由七巧板拼出的图形）

师:

像这样,都是由基本图形组合而成的图形,我们称为组合图形（板书课题）。

今天这节课就一起来研究组合图形的面积的计算。

（板书课题:

组合图形的面积）

[设计意图]　通过课件展示“七巧板”,从学生身边的事物入手,一方面可以激发学生的学习兴趣;另一方面使学生感受数学与生活的联系。

方法三

观察画面,引出新知。

师:

同学们,拿出课前我们准备的七巧板（基本图形纸板）,动手拼一拼,你们可以拼成什么图案?

（学生拼一拼,然后汇报）

师:

你们都拼成了什么图形?

用到了哪些图形?

（学生汇报）

师:

在拼摆图案时,我们用到了三角形、平行四边形、正方形等基本图形。

（教师板书:

基本图形）

师:

这些由基本图形组合而成的图形,就叫作组合图形。

（教师板书:

组合图形）

师:

今天这节课,我们一起来探索组合图形面积的计算方法。

（板书课题:

组合图形的面积）

[设计意图]　通过观察画面增强学生的学习欲望,给课堂增添了浓厚的学习气氛,为新课的开展起到了良好的铺垫。

一、估一估,客厅的面积。

师:

智慧老人的房屋正在装修,但遇到了点难题,需要同学们的帮助,你们愿意吗?

预设生:

愿意。

师:

智慧老人打算铺地板,请你们帮老师估一估至少要买多少平方米的地板?

师:

我们在购买地板的时候,如果买多了浪费,买少了还要再去买太麻烦了,那该怎么办呢?

你们能帮助智慧老人想出一个办法吗?

预设生:

我们可以先计算出客厅地面的面积,再去商店购买地板,这样就不会出现老师的问题了。

1.（PPT课件出示“L”形客厅的平面图,思考老师提出的问题）

师:

请同学们观察一下这个图形,这是一个组合图形,这样图形的面积我们学过吗?

预设生:

没有学习过。

（教师板书:

组合图形）

师:

那么怎么办呢?

2.独立思考,估计地板的面积并说理由。

师:

同学们,观察“L”形客厅平面图,你们能估一估它的面积大约是多少吗?

（小组交流讨论,然后汇报）

师:

客厅的面积大约是多少平方米?

你是用什么方法估计的?

预设生1:

（学生到展台前边演示,边说明）根据“L”形客厅的形状特点,我把它看成我们学习过的长方形。

原“L”形客厅的平面图,就转换成为长是7m,宽是6m的长方形,面积是6×7=42（m2）,由于多算了一个小正方形,所以客厅的面积应该不到42m2。

生2:

我们可以把客厅的平面图看成是一个边长为6m的正方形,6×6=36（m2）,由于7m少算了1m,所以,客厅的面积在36m2左右。

师:

同学们,估算的时候,我们用什么样的图形去估计“L”形客厅的面积呢?

预设生:

我们学过的基本图形长方形和正方形。

（教师板书:

基本图形）

师:

那么我们是否也可以用学过的图形的面积公式去计算“L”形客厅的面积呢?

也就是把这个组合图形转化成我们学过的图形计算其面积呢?

预设生:

可以。

[设计意图]　本环节的设计是对“估一估”,“你用什么方法估计的”问题的探究,是为了在精确计算之前,让学生了解“L”形客厅面积大致是多少。

二、用割补法,解决问题。

师:

我们应该怎样把“L”形转化成为已学过的图形呢?

同学们,观察组合图形的特征,结合我们前面做过的拼图活动,想一想,有什么好的方法吗?

学生小组讨论,然后全班交流。

方法一:

分割法。

预设生:

老师,我把组合图形横向分成两个大小不同的长方形。

师:

你分成的两个长方形可以计算出它们的面积吗?

预设生:

可以计算它们的面积。

师:

你分成的图形的面积容易计算吗?

预设生:

我分成的是两个长方形,用长乘宽就可以计算面积了,很容易。

师:

那么,你能到展台来具体地说一说吗?

预设生:

可以。

首先,把组合图形分成两个长方形,然后,通过观察可以知道上面长方形的长是4m,宽是3m,计算出面积是3×4=12（m2）,用同样的方法可以计算出下面长方形的面积是7×3=21（m2）,最后把两个长方形的面积相加,求出组合图形的面积是33m2。

师:

你叙述得真清晰,老师真为你骄傲。

预设生:

老师,我也想说一说,我的方法和上面的方法有些相同,但也有些不同,我是纵向分成两个长方形的,方法差不多。

师:

你具体说一说。

预设生:

首先,把组合图形竖着分成一个长方形和一个正方形,然后,通过观察可以知道左面长方形的长是6m,宽是4m,计算出面积是6×4=24（m2）,用同样的方法可以计算正方形面积是3×3=9（m2）,最后把长方形和正方形的面积相加,求出组合图形的面积是33m2。

师:

同学们,观察两种方法有什么相同?

又有什么不同?

预设生:

都是把组合图形分成两个学过的图形,不同的是第一个分成两个长方形,第二个分成一个长方形和一个正方形。

师:

同学们,像上面两种方法,把一个图形分成两个或两个以上学过的图形来计算的方法,叫作分割法。

（教师板书:

分割法）

师:

还有没有其他的方法计算组合图形的面积呢?

预设生:

老师,我有一种方法,与上面的分割法不一样。

师:

叙述一下你的方法。

方法二:

添补法。

预设生:

（在展台演示）把组合图形拼上一个边长为3m的正方形,使它变成一个长是7m,宽是6m的长方形,然后计算出长方形的面积是6×7=42（m2）,然后从42m2中减去正方形的面积3×3=9（m2）,剩下的部分就是组合图形的面积,42-9=33（m2）。

师:

同学们,你们看明白了吗?

和上面的分割法一样吗?

预设生:

不一样,分割法是把组合图形分成两个学过的图形,而这种方法并没有分割,是添上了一个正方形,把组合图形转化成一个长方形来计算。

师:

同学们,组合图形的缺口处补上的是什么图形?

预设生:

正方形。

师:

你是怎么知道的?

预设生:

通过计算可以知道,缺口上的图形的长是7-4=3（m）,宽是6-3=3（m）,所以是正方形。

师:

那么,这种方法叫作什么呢?

预设生:

叫作添补法。

（教师板书:

添补法）

（师生共同归纳总结方法并比较）

师:

其实不管是用“割”还是“补”,我们都有一个共同的目的,那就是把这个组合图形转化为已学过的平面图形。

可以看出在生活中我们要结合实际问题,恰到好处地运用估算和准确计算,其实计算组合图形面积时,分割后的图形越少,算起来也就越简单。

[设计意图]　通过设计组合图形面积计算的方法,使学生体会解决问题方法的多样性,同时,也体会数学中的转化思想。

三、拓展思考,生成方法。

师:

组合图形面积的计算,除了分割法和添补法以外,还有没有其他方法解决组合图形的面积问题呢?

同桌之间讨论一下,也可以小组内讨论方法。

（学生讨论、探究计算组合图形面积的其他方法）

师:

还可以分割成哪些学过的图形呢?

（学生汇报）

方法三:

割补法。

预设生:

我运用分割法和添补法结合的方法,把“L”形转化成长方形。

（学生展示）

师:

你割补的长方形可以计算吗?

预设生:

通过计算可以知道转化后的长方形的长是4+7=11（m）,宽是3m,面积是11×3=33（m2）。

师:

像这样分割法和添补法结合运用的方法,我们把它叫作割补法。

（教师板书:

割补法）

预设生:

老师,还可以这样割补:

转换成梯形。

（学生到展台演示）

师:

怎么计算呢?

预设生:

根据梯形的面积:

（上底+下底）×高÷2

=（4+7）×6÷2

=33（m2）

师:

同学们,还有其他的计算方法吗?

预设生1:

我把它分割成两个梯形来计算。

（学生展示）

（3+6）×4÷2+（3+7）×3÷2=18+15=33（m2）

生2:

老师,我把“L”形割补成大的长方形。

（如图所示）

　　　　　　　11×6÷2

　　　　　　=66÷2

　　　　　　=33（m2）

师:

同学们,通过思考、讨论,获得了这么多计算方法,你们认为哪一种方法好呢?

预设生1:

我运用的方法是割补法,把组合图形转化成我们学习过的图形进行计算。

我认为非常好理解和掌握。

生2:

我认为把“L”形转化成两个长方形,更容易一些。

……

师:

通过数学的转化思想,我们探究出这么多组合图形面积计算的方法,我们在计算时,要选择最优的,最适合我们的方法,那就是最好的方法。

但是我们在分割图形时,要注意什么呢?

预设生:

要注意,一是割补后的图形的面积是否可算;二是割补后的图形是否比较简单、面积是否易算。

师:

现在你知道智慧老人家的客厅的面积是多少了吗?

预设生:

智慧老人家的客厅面积是33m2。

[设计意图]　通过组合图形面积的计算方法的探究,一方面使学生掌握了组合图形的计算方法。

另一方面丰富了学生解决组合图形面积计算的经验。

同时也体会了学习过程中的数学转化思想。

师:

非常感谢同学们帮智慧老人解决了这个困难,现在老师请大家去智慧屋逛一逛,那里面充满了挑战,你们敢接受吗?

1.完成教材第89页“练一练”的第1题。

这个问题可以先让学生初步掌握用“割”或“补”的方法将组合图形转化成学过的图形。

2.完成教材第89页“练一练”的第3题。

解答本题有多种思路,如可以运用添补的方法解决,先求出大长方形的面积,再求出4个小正方形的面积,相减就可得出答案。

也可以分割成3个长方形,把所有的长方形面积相加即可,在解答的过程中,建议使用“添补法”。

3.求下面阴影部分的面积。

（大、小正方形的边长分别为8厘米和6厘米）

【参考答案】　1.

（1）不到4800cm2　

（2）60×80-20×60÷2=4200（cm2）　2.20×26-4×4×4=456（cm2）　3.8×8-（6×8）÷2+6×6÷2=58（平方厘米）

[设计意图]　通过随堂测试,加深学生对组合图形面积计算的理解。

这节课你们学了什么知识?

有什么收获?

（学生反馈）

学生反馈汇报预设:

这节课我们一起学习了用割补法把组合图形转化成学过的基本图形,再计算面积。

还知道了通过数学的转化思想,我们探究出这么多组合图形面积计算的方法,我们在割补图形时,要注意割补后的图形的面积是否可算;割补后的图形是否比较简单、面积是否易算。

[设计意图]　通过总结,培养学生的语言表达能力和分析概括能力,加深组合图形面积计算方法的理解。

作业1

教材第89页“练一练”的第2,4,5题。

作业2

【基础巩固】

1.（基础题）把下列各个图形分割成你已经学过的图形。

2.（基础题）补充适当的图形,使每个图形成为你已经学过的图形。

3.（易错题）为举办秋季体育节,学校制作了锦旗（如下图）,一面锦旗需要多少平方厘米布料?

【提升培优】

4.（重点题）有一块正方形空地,如图所示,边长为20m,空地的中央有一个花坛,在花坛的周围有一条宽1m的小路,小路的面积是多少?

5.（变式题）求图中空白部分的面积。

（单位:

cm）

【思维创新】

6.（探究题）已知三角形乙的面积比三角形甲的面积大6cm2,那么FC的长度是多少?

【参考答案】

作业1:

2.如下图所示。

（答案不唯一）　4.

（1）（0.9×2-0.4×0.3）×30=50.4（m2）　

（2）5×50.4=252（元）　5.（8-4）×（8-4）=16（cm2）

作业2:

1.略　2.略　3.30×60-30×（60-45）÷2=1575（平方厘米）　4.20×20=400（m2）,（20-1×2）×（20-1×2）=324（m2）,400-324=76（m2）。

　5.18×18=324（cm2）,2×18×2=72（cm2）,2×2=4（cm2）,324-72+4=256（cm2）。

　6.5×5=25（cm2）,25+6=31（cm2）,31×2÷5=12.4（cm）,12.4-5=7.4（cm）。

组合图形的面积

这节课是以学生已经学习过的长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形等基本图形面积计算为基础,结合实际情景和具体的图形来探究组合图形面积的计算方法,通过复习和导入的设计巩固已学的基本图形面积的计算方法,培养学生的分析问题和解决问题的能力,教学过程中,创设了生动的生活情景,精心设计了学生的学习内容。

在探究过程中分三个层次,先估一估;然后利用割补法计算面积;最后探究解决问题的其他方法。

课堂上充分发挥了学生的自主性,调动了学生的学习积极性,在交流多种方法的过程中也培养了学生的发散思维能力。

学生了解了用分割法或添补法转化成基本图形计算组合图形的面积,并不要求每个学生都去掌握,而是让学生选择自己喜欢的方法去计算组合图形面积,并阐述理由。

当然也还有很多细节的地方需要改进,比如教师语言的精练度,学生操作的方式,以及汇报的形式等,这都有待于在今后的教学中进一步加以完善。

再进行教学设计时,要注意以学生为主体进行教学设计,突显学生的个性发展,从而调动学生的学习积极性。

　计算下面图形的面积。

[名师点拨]　这是一道典型的利用“大面积减小面积”的方法计算图形面积的问题。

把图形补成大长方形,用大长方形的面积减去梯形缺口的面积就是所求图形的面积。

[解答]　8×6=48（cm2）

[2+（8-2-2）]×3÷2=9（cm2）

48-9=39（cm2）

【知识拓展】　计算较复杂的图形的面积时,要选择适当的方法将其转化成规则图形的面积的和或差来计算。

计算组合图形面积的几种方法

一、分割法。

就是把一个组合图形根据它的特征和已知条件分割成几个简单的规则图形,分别算出各个图形的面积,最后求出它们的面积的和。

二、割补法。

就是把图形的某一部分割下来补到另一部分上,使它变成一个我们已学过的几何图形,然后再进行计算。

三、挖空法。

就是把多边形看成是一个完整的规则图形,计算它的面积以后,再减去空缺部分的面积。

四、折叠法。

就是把组合图形折成几个完全相同的图形。

先求出一个图形的面积,再求几个图形的面积之和。

五、旋转法。

就是把原图形进行一次或多次旋转,使它变成我们所熟悉的新图形,然后再进行计算。

计算一个组合图形的面积,有时可以有多种方法,我们要根据图形的特征、已知条件,以及整体与部分的关系,选择最佳解法。

狮身人面图

古埃及有狮身人面兽,它的外部轮廓如图所示。

这是一个谜一般的有趣的图形,可以将它作多种有趣的分解,是一道世界著名的智力题。

现在要求将它分成四等份,每一等份的本身也是一个形状相同、大小相等的狮身人面图。

应该怎么分解?

【参考答案】　如下图所示。

2　探索活动:

成长的脚印

教材以“淘气出生时和两岁时,脚印的面积大约各是多少”为例,探索如何估计不规则图形的面积,设计了三个问题。

第一个问题是在方格纸上,探索估计脚印面积的方法;后面的两个问题是运用所探索出的方法,解决不规则图形的面积的估计问题。

1.能用数方格的方法,估计不规则图形的面积。

2.在估计的过程中,丰富估计的策略和方法。

【重点】　正确估计和计算不规则图形的面积。

【难点】　在估计的过程中,丰富估计的策略和方法。

【教师准备】　PPT课件;方格纸;有关本节的相关素材。

【学生准备】　方格纸、枫叶。

请算出图形中阴影部分的面积。

（每个格子1cm2）

【参考答案】　36cm2

方法一

故事导入。

师:

同学们,你们喜欢听故事吗?

预设生:

喜欢。

师:

今天老师给大家带来了一个故事,你们听……

（用多媒体播放或者老师讲述）

冬天到了,外面下起了雪,鸡爸爸带着他的孩子们去踏雪。

大地白茫茫一片。

小鸡说:

“雪天真没意思,什么也看不见。

”鸡爸爸说:

“你们往身后看一看,那是什么?

”他们一看,啊,雪地上留下了他们的脚印,一排排,一串串,就像一片片竹叶。

小鸡这里跑跑,那里跑跑,突然发现地上有一个不一样的脚印。

（PPT课件出示淘气脚印）

小鸡奇怪地问:

“这是谁的脚印?

这个脚印有多大呢?

”小鸡指着地上的脚印说:

“爸爸,你能告诉我,怎样知道这个脚印的大小吗?

”

师:

同学们,你们能帮助鸡爸爸回答小鸡的问题吗?

今天,我们就从这个脚印开始学习。

（板书课题:

成长的脚印）

[设计意图]　通过故事情景,调动学生的兴趣,吸引学生的注意力。

再通过“爸爸,你能告诉我,怎样知道这个脚印的大小