相似三角形8字模型含详细答案经典.docx
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相似三角形8字模型含详细答案经典
授课课时：
课时
授课日期：
年月日
学员姓名
年级
辅导科目
数学
学科教师
班主任
授课时间
教学课题
教学目标
教学重难点
课前检查
作业完成情况：
优口良口中口差口
建议：
教学内容
一、相似三角形的性质
1•相似三角形的对应角相等
△ABC与厶ABC相似，则有AA,BB,CC.
2.相似三角形的对应边成比例
△ABC与厶ABC相似，则有-AB-BC-ACk（k为相似比）.
ABBCAC
3.相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比.
△ABC与厶ABC相似，AM是厶ABC中BC边上的中线，AM是厶ABC中BC边上的中线，则有
上’竺k（k为相似比）.
ABBCACAM
△ABC与厶ABC相似，AH是厶ABC中BC边上的高线，AH是厶ABC中BC边上的高线，则有妲竺k皿（k为相似比）.
ABBCACAH
△ABC与厶ABC相似，AD是厶ABC中BAC的角平分线，AD是厶ABC中BAC的角平分线，则有△丄卫2上2k如（k为相似比）.
ABBCACAD
4•相似三角形周长的比等于相似比.
ABbcAC
△ABC与厶ABC相似，则有————k（k为相似比）•应用比例的等比性质有
ABBCAC
ABBCACABBCAC
k•
ABBCACABBCAC
5
•相似三角形面积的比等于相似比的平方.
△ABC与厶ABC相似，AH是厶ABC中BC边上的高线，AH
、相似三角形的判定
1•平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2•如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可简单说成:
两角对应相等，两个三角形相似.
3•如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
4.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单地说成:
三边对应成比例，两个三角形相似.
5
那么
•如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似.
6•直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）
7•如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似;如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似.
三、相似证明中的基本模型
8字形
图①8字型，结论:
AOBOAB
ODCOCD
【例1】.如图，在？
ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E,则图中相似三角形共有（）
•••念EF与△ADC只有一个角相等，
•••念EF与△ACD不一定相似，故选项D错误，符合题意.
故选：
D.
AE,交BC于点F,
【练习1】.如图，E为？
ABCD的DC边延长线上一点，连则图中与厶ABF相似的三角形共有2个.
【解答】解：
•••四边形ABCD是平行四边形，
•••AB//CD,AD//BC,
z.^ABFs©ef,ACEFs念ED,
z.^ABFs念ed.
•••图中与AABF相似的三角形是：
△CEF,^AED.
故答案为：
2
【练习2】.如图，在？
ABCD
中，AC,
BD相交于点0,点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F,
已知Szaef=4，则下列结论：
①
△ACD，其中一定正确的是①②③
（填序号）
【解答】解：
/•在？
ABCD中，A0==AC,
②Szbce=36;
•••点E是0A的中点,
•••AE亠E,
'/AD//BC,
z.^AFEs©BE,
•丄』二
•BC=□=3，
••AD=BC,
•••AF=AD,
3
•••丄二；故①正确；
FD2
8
•••S*=4,「=
（二）2=_,
.••Szbce=36;故②正确;
..坠臺丄
.%AEF=1_
SAABE3，
•••Szabe=12，故③正确;
••BF不平行于CD,•••念EF与AADC只有一个角相等,•••念EF与△ACD不一定相似，故④错误,故答案为：
①②③.
【练习3】.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G,
延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有4对.
【解答】解：
.四边形ABCD是平行四边形，
•••AB//CD,AD//BC,
•••念BGs/fhG,AABEs/DHE^ZCHB,
•••图中的相似三角形共有4对.
故答案为：
4.
【练习4】.在厶ABC中，DB=CE,DE的延长线交
【解答】解：
过点C作CG//DP交AB于G,
.AD_AEBD_BP
……订，.一-，
4q
.•.pc—上一理，
过D作DF丄AC,垂足为F，设AD=a，贝UA0=4a,
••OA=0B，点C为OB中点，•C0=2a,
在RtSCO中,AC=小「「|_「=2，a,
又rRtAADFsRt△XCO,
•AF=
PF=AC-AF-PC=2L；%
DF
1
PF=
2
tanZBPC=tanZFPD=
（3）与
（2）的方法相同，设AD=a，求出DF=Ja，
【练习7】.已知线段OA丄OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点.
（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求話的值；
AD1
（2）如图2，当OA=OB，时，求△BPC与△ACO的面积之比.
A04
【解答】解：
（1）过C作CE//OA交BD于E，
•ZBCEs/BOD，
…而麺
••C为OB上中点，
1
•••CE=—OD，
•••D为AO中点,
•••ZECPs/dap,
.AP二ACL?
；■pc=cir；
（2）过C作CE//OA交BD于E,过P作PF丄OB交OB于F,
••QD=3x,
•••/BCEs/bqd,C为OB上中点,
vZECPs/dAP,
Is
由勾股定理可知BD=5x,DE=—x,
•PD二2,
•琏-PD百'
PD=AD=x,
_|12
122
PF=kSabpc=
5
Szaco=4x2,
弘BPC』
SAACO'
图②反8字型，结论：
AO
BO
△旦、四点共圆
CO
DO
CD
【例3】•如图，不能判定△
AOB
和ADOC相似的条件是
A.AO?
CO=BO?
DOB.二-二C./A=ZDD./B=ZC
EOCD
【解答】解：
A、能判定•利用两边成比例夹角相等.
B、不能判定.
C、能判定•两角对应相等的两个三角形相似.
D、能判定•两角对应相等的两个三角形相似.
故选：
B.
【练习1】.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC平分ZDAB，且ZDAC=ZDBC,
那么下列结论不一定正确的是（）
A.AAODs/BOCB.AAOB^ZDOCC.CD=BCD.BC?
CD=AC?
OA
【解答】解：
A'•••/DAC=ZDBC,ZAOD=ZBOC,
•••@0Ds/Boc，故此选项正确，不合题意;
B、TZAODs/BOC,
A0_
0D|
B0=
CO,
AO
B0|
0D=
CO,
又v/AOB=ZCOD,
s/doc，故此选项正确，不合题意;
C、TZAOBs/DOC,•••ZBAO=ZODC,•/AC平分ZDAB,
•••ZDAC=ZBAC,•••ZBAC=ZBDC,•/ZDAC=ZDBC,•••zCDB=ZCBD,
•••CD=BC，故此选项正确，不合题意;
D、无法得出BC?
CD=AC?
0A，故此选项错误，符合题意.
故选：
D.
【练习2】.如图，
（1）若AE:
AB=AF:
AC，则△ABCs公EF;
（2）若ZE=ZB，则△ABCs念EF.
则△ABCs公EF;
（2）若/E=ZB，则△ABCs^\EF.
故答案为：
AF:
AC,ZB.
图③双8字型，结论:
【解答】解：
（1）若AE:
AB=AF:
AC,
【例4】如图，AB//CD,点E为AB上一点，点F为CD上一点，求证:
【例5】.如图，在平行四边形ABCD中（ABMBC）,直线EF经过其对角线的交
点0,且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F,下列结
论：
①AO=BO:
②OE=OF;
③厶EAMs/ebn:
④"AO也/CNO，其中正确的是（）
A.①②B.②③C.②④D.③④
【解答】解：
①平行四边形中邻边垂直则该平行四边形为矩形，故本题中ACMBD，即AOMBO,故①错误；
2TAB//CD,
•••ZE=ZF,
又•••/EOA=ZFOC,AO=CO
•△DE也zCOF,
•••OE=OF，故②正确；
3TAD//BC,
z.ZEAMs/ebN，故③正确；
4•••△AOE也zCOF，且△FCO和加“。
不全等，
故AEAO和加“。
不全等，故④错误，
即②③正确.
故选：
B.
20.如图，在△ABC中，E为高AD上的动点，F是点D关于点E的对称点（点F在高AD上，且不与A、D重合）.过点F作BC的平行线与AB交于P，与AC交于Q，连接PE并延长交直线BC于点N，连接QE并延长交直线BC于点M，连接PM、QN.
（1）试判断四边形PMNQ的形状，并说明理由；
（2）若要使四边形PMNQ是一个矩形，则△ABC还应满足什么条件？
请说明理由；
（3）若BC=10，AD=6，则当点E在何处时，四边形PMNQ的面积与厶APQ的面积相等？
【解答】解：
（1）四边形PMNQ是平行四边形.
••PQ//MN，•••ZEPQ=ZENM；ZEQP=/EMN，
•ZPEQs/NEM，
VED丄MN，EF±PQ，
课堂小结:
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