高中数学人教A版必修2同步教师用书 第2章 223 直线与平面平行的性质 224 平面与平面平行的性质.docx
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高中数学人教A版必修2同步教师用书第2章223直线与平面平行的性质224平面与平面平行的性质
2.2.3 直线与平面平行的性质
2.2.4 平面与平面平行的性质
1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．（重点）
2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．（重点）
3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．（难点）
[基础·初探]
教材整理1 直线与平面平行的性质定理
阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．
自然语言
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
符号语言
a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b
图形语言
作用
证明两直线平行
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．（ ）
（2）一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．（ ）
（3）过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．（ ）
（4）如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．（ ）
【解析】 由线面平行的性质定理知
（1）（4）正确；
由直线与平面平行的定义知
（2）正确；
因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，
而经过这条直线可作无数个平面，故（3）错．
【答案】
（1）√
（2）√ （3）× （4）√
教材整理2 平面与平面平行的性质定理
阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题．
自然语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
图形语言
作用
证明两直线平行
已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．异面D．不确定
【解析】 由面面平行的性质定理可知a∥b.
【答案】 A
[小组合作型]
线面平行性质定理的应用
如图2 2 15，四边形EFGH是空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：
AB∥平面EFGH.
图2 2 15
【精彩点拨】 要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．
【自主解答】 ∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
∵EF⊂平面ABC，
平面ABC∩平面ABD＝AB，
∴EF∥AB.
∵AB⊄平面EFGH，
EF⊂平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.
[再练一题]
1．如图2 2 16，在三棱柱ABCA1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1.
求证：
AA1∥EE1.
图2 2 16
【证明】 在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1，
∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，
∴AA1∥平面BCC1B1.
∵AA1⊂平面AEE1A1，
平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，
∴AA1∥EE1.
面面平行性质定理的应用
如图2 2 17，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点（不在α与β之间），直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.
图2 2 17
（1）求证：
AC∥BD；
（2）已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.
【精彩点拨】
（1）利用面面平行的性质定理直接证明即可．
（2）利用平行线分线段成比例定理可求得PD.
【自主解答】
（1）证明：
∵PB∩PD＝P，
∴直线PB和PD确定一个平面γ，
则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.
又α∥β，∴AC∥BD.
（2）由
（1）得AC∥BD，
∴
＝
，∴
＝
，∴CD＝
，
∴PD＝PC＋CD＝
.
1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：
（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；
（2）判定这两个平面平行；（3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；（4）由性质定理得出线线平行．
2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．
[再练一题]
2．如图2 2 18，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：
N为AC的中点．
图2 2 18
【证明】 因为平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，
所以四边形ANC1M为平行四边形，
所以AN∥C1M且AN＝C1M，
又C1M＝
A1C1，A1C1＝AC，
所以AN＝
AC，所以N为AC的中点．
[探究共研型]
平行关系的综合应用
探究1 应用线面平行性质定理有什么技巧？
【提示】 应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．
探究2 面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？
【提示】 两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．
探究3 你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？
【提示】 三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：
如图2 2 19，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：
MN∥平面AA1B1B.
图2 2 19
【精彩点拨】 用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B.
【自主解答】 如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，
∵MP∥BB1，
∴
＝
.
∵BD＝B1C，DN＝CM，
∴B1M＝BN，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴NP∥CD∥AB.
∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，
∴NP∥平面AA1B1B.
∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，
∴MP∥平面AA1B1B.
又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.
1．三种平行关系的转化
要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
2．面面平行的性质定理的几个推论
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
（2）夹在两平行平面间的平行线段相等．
（3）经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
[再练一题]
3．如图2 2 20，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：
直线EE1∥平面FCC1.
图2 2 20
【证明】 因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.
又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.
因为AB∥CD，所以CD∥AF，
所以AFCD为平行四边形．
所以FC∥AD.
又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，
所以FC∥平面ADD1A1.
因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，
所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1⊂平面ADD1A1，
所以EE1∥平面FCC1.
1．正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是（ ）
图2 2 21
A．AE⊥CG
B．AE与CG是异面直线
C．四边形AEC1F是正方形
D．AE∥平面BC1F
【解析】 由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D.
【答案】 D
2．如图2 2 22，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ）
图2 2 22
A．MN∥PD
B．MN∥PA
C．MN∥AD
D．以上均有可能
B [∵MN∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA，MN⊂平面PAC，∴MN∥PA.]
3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________.
【解析】 由直线与平面平行的性质定理知l∥m.
【答案】 平行
4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．
【解析】 两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以
＝
，又PA＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.
【答案】 12
5．如图2 2 23，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：
CD∥EF.
图2 2 23
【证明】 因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.
同理可证AB∥EF，
所以CD∥EF.
学业分层测评（十一）
（建议用时：
45分钟）
[学业达标]
一、选择题
1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的（ ）
A．至少有一条 B．至多有一条
C．有且只有一条D．没有
【解析】 过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.
【答案】 B
2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．异面D．平行或异面
【解析】 条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，
又a与α无公共点，故选C.
【答案】 C
3．下列命题中不正确的是（ ）
A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面β
B．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β
C．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行
D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线
【解析】 选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.
【答案】 A
4．如图2 2 24，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是（ ）
图2 2 24
A．平行B．相交
C．异面D．平行或异面
【解析】 由长方体性质知：
EF∥平面ABCD，
∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，
∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.
【答案】 A
5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C（ ）
A．不共面
B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．无论点A，B如何移动都共面
【解析】 无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．
【答案】 D
二、填空题
6．如图2 2 25，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
图2 2 25
【解析】 因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，
平面AB1C∩平面ABCD＝AC，
所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，
所以点F是CD的中点，所以EF＝
AC＝
.
【答案】
7．如图2 2 26所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.
图2 2 26
【解析】 EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.
又
＝
，∴EF＝
＝
＝
.
【答案】
三、解答题
8．如图2 2 27所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：
四边形BCFE为梯形．
图2 2 27
【证明】 ∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.
∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，
∴BC∥平面APD.
又平面BCFE∩平面APD＝EF，
∴BC∥EF，∴AD∥EF.
又E，F是△APD边上的点，
∴EF≠AD，∴EF≠BC.
∴四边形BCFE是梯形．
9．如图2 2 28，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且
＝
，求证：
MN∥平面SBC.
图2 2 28
【证明】 在AB上取一点P，使
＝
，连接MP，NP，则MP∥SB.
∵SB⊂平面SBC，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面SBC.
又
＝
，∴
＝
，∴NP∥AD.
∵AD∥BC，∴NP∥BC.
又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，
∴NP∥平面SBC.
又MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，
∴MN∥平面SBC.
[能力提升]
10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是（ ）
A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α
B．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交
C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
【解析】 对于A，如图
（1）所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图
（2）所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图（3）所示，m与n相交，故D不正确．故选C.
图
（1） 图
（2） 图（3）
【答案】 C
11．如图2 2 29，三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.
图2 2 29
【解】 如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.
因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，
所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.
又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.
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