完整版相似三角形常见模型总结材料doc.docx

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第一部分相似三角形模型分析

一、相似三角形判定的基本模型认识

（一）A字型、反A字型（斜A字型）

A

A

D

DEE

BCBC

（平行）（不平行）

（二）8字型、反8字型

A

AB

B

O

J

C

D

D

C

（蝴蝶型）

（平行）

（不平行）

（三）母子型

A

A

D

D

BCC

（四）一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

标准文案

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（五）一线三直角型：

（六）双垂型：

A

D

C

二、相似三角形判定的变化模型

旋转型：

由A字型旋转得到。

8字型拓展

A

A

EF

G

DBCEBC

共享性

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一线三等角的变形

一线三直角的变形

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第二部分相似三角形典型例题讲解

母子型相似三角形

例1：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．

求证：

OC2OAOE．

例2：

已知：

如图，△

ABC中，点E在中线AD上,

DEB

ABC．

B

求证：

（

1）DB2

DEDA；

（2）

DCE

DAC．

D

E

AC

例3：

已知：

如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．

求证：

BE2EFEG．

相关练习：

1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：

FD2FBFC．

标准文案

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2、已知：

AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。

求证：

（1）△AME∽△NMD;

（2）ND2=NC·NB

3、已知：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E

是AC上一点，CF⊥BE于F。

求证：

EB·DF=AE·DB

4.在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EFBC，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。

求证：

GBM90

5．（本题满分14分，第

（1）小题满分4分，第

（2）、（3）小题满分各

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB

一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射

A

M

E

H

B

D

C

F

G

5分）

上的

B

线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为

x，△BEP的面积为

y．

P

（1）求证：

=2；

AEPE

A

C

D

E

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（第25

题图）

（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．

标准文案

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双垂型

1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：

（1）△ABD∽△ACE；

（2）△ADE∽△ABC；（3）BC=2ED

A

E

D

2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，

求：

点B到直线AC的距离。

BC

A

E

BDC

共享型相似三角形

1、△ABC是等边三角形

D、B、C、E在一条直线上

120

，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边

∠DAE=

长.

A

DBCE

2、已知：

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．

求证：

（1）△∽△

；

（2）

BC

2

2BECD

．

ABE

ACD

A

一线三等角型相似三角形

C

BDE

A

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EF

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例1：

如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°

（1）求证：

△BDE∽△CFD

（2）当BD=1，FC=3时，求BE

例2：

（1）在

ABC中，AB

AC5，BC

8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、

点B重合），且保持APQ

ABC.

①若点P在线段CB上（如图），且BP

6，求线段CQ的长；

②若BP

x，CQ

y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

A

A

A

Q

B

P

C

B

C

B

C

备用图

备用图

（2）正方形ABCD的边长为5（如下图），点P、Q分别在直线．．CB、DC上（点P不与点C、点B重

合），且保持APQ90.当CQ1时，求出线段BP的长.

ADADAD

BCBCBC

例3：

已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．

（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．

ABPDPC

A

P

D

①求证；△∽△

AP

②求的长．

B

C

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么

标准文案

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①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定

义域；

②当CE＝1时，写出AP的长．

AD

AD

BB

CC

例4：

如图，在梯形

ABCD中，AD∥BC，AB

CDBC6，AD

3．点M为边BC的中点，以

M为顶点作

EMF

B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF．

（1）求证：

△MEF∽△BEM；

（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求

EF的长；

（3）若EF

CD，求BE的长．

相关练习：

1、如图，在△

ABC中，ABAC

8，BC10，D是BC边上的一个动点，点

E在AC边上，且

ADEC．

（1）

求证：

△

∽△

；

ABDDCE

A

（2）

如果BD

x，AE

y，求y与x的函数解析式，并写出自变量

x的定义域；

（3）

当点D是BC的中点时，试说明△

ADE是什么三角形，并说明理由．

E

B

D

C

2、如图，已知在△

中，

==6，

=5，

D

是

AB

上一点，

=2，

E

是

BC

上一动点，联结

，并作

ABC

ABAC

BC

BD

DE

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DEFB，射线EF交线段AC于F．

（1）求证：

△DBE∽△ECF；

（2）当F是线段AC中点时，求线段

BE的长；

（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．

A

F

D

BEC

3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E

是AB的中点．

（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：

△BEP∽△CPD；

（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同

时交直线AD于点M，那么

x

①当点

F

在线段

的延长线上时，设

=

，

=

y

，求

y

关于

的函数解析式，并写出函数的定义

CD

BPx

DF

域；

②当SDMF

9SBEP时，求BP的长．

4

D

A

A

D

E

E

B

P

C

B

C

（第25

题

（备用图）

4、如图，已知边长为

3的等边

ABC，点F在边BC上，CF

1，点E是射线BA上一动点，以线段EF

为边向右侧作等边

EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N，

（1）写出图中与

BEF相似的三角形；

（2）证明其中一对三角形相似；

（3）设BEx,MN

y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量

x的取值范围；

（4）若AE1，试求GMN的面积．

备用图

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一线三直角型相似三角形

例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PECP，

交边AB于点E,设PDx,AEy，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。

APD

E

BC

例2、在

ABC中，C

90o,AC

4,BC

3,O是AB上的一点，且

AO

2，点P是AC上的一个动

AB

5

点，PQ

OP交线段

BC

于点

，（不与点

B,C

重合），设APx,CQ

y，试求

y

关于

x

的函数关系，

Q

并写出定义域。

C

Q

P

BA

O

【练习1】

在直角ABC中，C90o,AB5,tanB3，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DFDE

4

交射线AC于点F

（1）、求AC和BC的长

（2）、当EF//BC时，求BE的长。

（3）、连结EF,当DEF和ABC相似时，求BE的长。

AA

EE

F

F

B

CDCDB

【练习2】

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在直角三角形ABC中，C90o,ABBC,D是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不

重合），DFDE,DF与射线BC相交于点F.

（1）、当点D是边AB的中点时，求证：

DEDF

（2）、当AD

m，求DE的值

DB

DF

（3）、当AC

BC

AD

1

x,BF

y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域

6,

，设AE

DB

2

C

C

F

F

E

E

A

D

B

A

D

B

【练习4】]如图，在

ABC中，C90

，AC

6，tanB

3

，D是BC边的中点，E为AB边上

4

的一个动点，作

DEF90，EF交射线BC于点F．设BE

x，

BED的面积为y．

（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量

x的取值范围；

（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与

BED相似，求

BED的面积.

【练

习

5】、

（2015年黄浦一模25）

如图,在梯形ABCD中，ABCD,

AB2,AD4,tanC

4

，ADC

DAB900,P是腰BC

3

上一个动点（不含点B、C）,作PQ

AP交CD于点Q.（图1）

（1）求BC的长与梯形ABCD的面积；

（2）

当PQ

DQ时,

求BP的长；（图2）

（3）

设BP

x,CQ

y,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域.

A

B

A

B

P

P

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DQCDQC

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（图1）（图2）

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