学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语132补集及集合运算的综合应用.docx

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学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语132补集及集合运算的综合应用

第2课时　补集及集合运算的综合应用

1．理解全集、补集的概念．

2．准确翻译和使用补集符号和Venn图．

3．会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．

1．全集

（1）定义：

如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．

（2）符号表示：

全集通常记作U.

2．补集

温馨提示：

∁UA的三层含义：

（1）∁UA表示一个集合；

（2）A是U的子集，即A⊆U；

（3）∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．

1．A＝{高一

（1）班参加足球队的同学}，B＝{高一

（1）班没有参加足球队的同学}，U＝{高一

（1）班的同学}．

（1）集合A，B，U有何关系？

（2）B中元素与U和A有何关系？

[答案]　

（1）U＝A∪B

（2）B中的元素在U中，不在A中

2．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）全集是由任何元素组成的集合．（　　）

（2）不同的集合在同一个全集中的补集也不同．（　　）

（3）集合∁BC与∁AC相等．（　　）

（4）集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）√

题型一补集的运算

【典例1】　

（1）已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________________；

（2）已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，

∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________________.

[思路导引]　借助补集定义，结合数轴及Venn图求解．

[解析]　

（1）将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．

（2）解法一：

A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，

∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．

又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．

解法二：

借助Venn图，如图所示．

由图可知B＝{2,3,5,7}．

[答案]　

（1）{x|x<－3或x＝5}　

（2）{2,3,5,7}

　求集合补集的基本方法及处理技巧

（1）基本方法：

定义法．

（2）两种处理技巧

①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；

②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．

[针对训练]

1．设全集U＝R，集合A＝{x|2

[解析]　用数轴表示集合A为图中阴影部分，∴∁UA＝{x|x≤2或x>5}．

[答案]　{x|x≤2或x>5}

2．设U＝{x|－5≤x<－2或2

[解析]　解法一：

在集合U中，

∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，

∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．

又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，

∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．

解法二：

可用Venn图表示．

则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．

[答案]　{－5，－4,3,4}　{－5，－4,5}

题型二交集、并集、补集的综合运算

【典例2】　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

[解]　把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：

由图可知∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，

A∩B＝{x|－2

　解决集合交、并、补运算的2个技巧

（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．

（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．

[针对训练]

3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则（∁RS）∪T等于（　　）

A．{x|－2

C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}

[解析]　∵S＝{x|x>－2}，∴∁RS＝{x|x≤－2}．

而T＝{x|－4≤x≤1}，

∴（∁RS）∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．

[答案]　C

4．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

[解析]　由题意知，A∪B＝{x|2

∴∁R（A∪B）＝{x|x≤2或x≥10}．

又∁RA＝{x|x<3或x≥7}．

∴（∁RA）∩B＝{x|2

[答案]　{x|x≤2或x≥10}　{x|2

题型三利用集合间的关系求参数

【典例3】　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2

[思路导引]　理清集合间的关系，分类求解．

[解]　由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}，

因为B＝{x|－2

所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.

[变式]　

（1）将本例中条件“（∁UA）∩B＝∅”改为“（∁UA）∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

（2）将本例中条件“（∁UA）∩B＝∅”改为“（∁UB）∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

[解]　

（1）由已知得A＝{x|x≥－m}，

所以∁UA＝{x|x<－m}，

又（∁UA）∩B≠∅，所以－m>－2，解得m<2.

（2）由已知得A＝{x|x≥－m}，

∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．

又（∁UB）∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.

　利用集合关系求参数的2个注意点

（1）与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．

（2）不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．

[针对训练]

5．已知集合A＝{x|x

（1）若A∪（∁RB）＝R，求实数a的取值范围；

（2）若A（∁RB），求实数a的取值范围．

[解]　

（1）∵B＝{x|1

∴∁RB＝{x|x≤1或x≥3}，

因而要使A∪（∁RB）＝R，结合数轴分析（如图），可得a≥3.

（2）∵A＝{x|x

要使A（∁RB），结合数轴分析（如图），可得a≤1.

课堂归纳小结

1．全集与补集的互相依存关系

（1）全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．

（2）补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两

个概念．

（3）∁UA的数学意义包括两个方面：

首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．

2．补集思想

做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U（∁UA）＝A求A.

1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合

∁U（A∪B）＝（　　）

A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}

C．{x|0≤x≤1}D．{x|0

[解析]　∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，

∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，

∴∁U（A∪B）＝{x|0

[答案]　D

2．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则（∁UB）∩A＝（　　）

A．{3}B．{0,1,2,4,7,8}

C．{1,2}D．{1,2,3}

[解析]　由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以（∁UB）∩A＝{1,2}．

[答案]　C

3．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则（∁UA）∩（∁UB）＝（　　）

A．{1,2,7,8}B．{4,5,6}

C．{0,4,5,6}D．{0,3,4,5,6}

[解析]　∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，

∴∁UA＝{0,2,4,5,6,8}，∁UB＝{0,1,4,5,6,7}，

∴（∁UA）∩（∁UB）＝{0,4,5,6}．

[答案]　C

4．全集U＝{x|0

[解析]　∁UA＝{x|5≤x<10}，如图所示．

[答案]　{x|5≤x<10}

5．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，且∁UA＝{5}，求实数a的值．

[解]　∵∁UA＝{5}，∴5∈U，但5∉A，

∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.

当a＝2时，|2a－1|＝3，

这时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}．

∴∁UA＝{5}，适合题意．∴a＝2.

当a＝－4时，|2a－1|＝9，这时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A⃘U，∴∁UA无意义，故a＝－4应舍去．

综上所述，a＝2.

课内拓展　课外探究

空集对集合关系的影响

空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集．空集就像一个无处不在的幽灵，解题时需处处设防，提高警惕．

空集是任何集合的子集，其中“任何集合”当然也包括了∅，故将会出现∅⊆∅.而此时按子集理解不能成立，原因是前面空集中无元素，不符合定义，因此知道这一条是课本“规定”．

空集是任何非空集合的真子集，即∅A（而A≠∅）．既然A≠∅，即必存在a∈A而a∉∅，∴∅A.

由于空集的存在，关于子集定义的下列说法有误，如“A⊆B，即A为B中的部分元素所组成的集合”．因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”、“A是A的子集”、“∅⊆∅”等结论．

在解决诸如A⊆B或AB类问题时，必须优先考虑A＝∅时是否满足题意．

【典例1】　已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，求满足B⊆A的a的值组成的集合．

[解]　由已知得A＝{－2,4}，B是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a2－12＝0（*）的解集．方程（*）根的判别式Δ＝a2－4（a2－12）＝－3（a2－16）．

（1）若B＝∅，则方程（*）没有实数根，即Δ<0，∴－3（a2－16）<0，

解得a<－4或a>4.此时B⊆A.

（2）若B≠∅，则B＝{－2}或{4}或{－2,4}．

①若B＝{－2}，则方程（*）有两个相等的实数根x＝－2，

∴（－2）2＋（－2）a＋a2－12＝0，即a2－2a－8＝0.

解得a＝4或a＝－2.当a＝4时，恰有Δ＝0；

当a＝－2时，Δ>0，舍去．∴当a＝4时，B⊆A.

②若B＝{4}，则方程（*）有两个相等的实数根x＝4，

∴42＋4a＋a2－12＝0，解得a＝－2，此时Δ>0，舍去．

③若B＝{－2,4}，则方程（*）有两个不相等的实数根x＝－2或x＝4，由①②知a＝－2，此时Δ>0，－2与4恰是方程的两根．

∴当a＝－2时，B⊆A.

综上所述，满足B⊆A的a值组成的集合是{a|a<－4或a＝－2或a≥4}．

[点评]　∅有两个独特的性质，即：

（1）对于任意集合A，皆有A∩∅＝∅；

（2）对于任意集合A，皆有A∪∅＝A.正因如此，如果A∩B＝∅，就要考虑集合A或B可能是∅；如果A∪B＝A，就要考虑集合B可能是∅.

【典例2】　设全集U＝R，集合M＝{x|3a－1

[解]　根据题意可知：

N≠∅，又∵N⊆（∁UM）．

①当M＝∅，即3a－1≥2a时，a≥1.

此时∁UM＝R，N⊆（∁UM）显然成立．

②当M≠∅，即3a－1<2a时，a<1.

由M＝{x|3a－1

又∵N⊆（∁UM），∴结合数轴分析可知

或

得a≤－

.

综上可知，a的取值集合为

.

[点评]　集合的包含关系是集合知识重要的一部分，在后续内容中应用特别广泛，涉及集合包含关系的开放性题目都以子集的有关性质为主，因此需要对相关的性质有深刻的理解．对于有限集，在处理包含关系时可列出所有的元素，然后依条件讨论各种情况，找到符合条件的结果．

课后作业（五）

复习巩固

一、选择题

1．设全集U＝R，集合P＝{x|－2≤x<3}，则∁UP等于（　　）

A．{x|x<－2或x≥3}

B．{x|x<－2或x>3}

C．{x|x≤－2或x>3}

D．{x|x≤－2且x≥3}

[解析]　由P＝{x|－2≤x<3}得，∁UP＝{x|x<－2或x≥3}．故选A.

[答案]　A

2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩（∁RB）＝（　　）

A．{x|x>1}B．{x|x≥1}

C．{x|1

[解析]　∵B＝{x|x<1}，∴∁RB＝{x|x≥1}．

∴A∩（∁RB）＝{x|1≤x≤2}．

[答案]　D

3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于（　　）

A．0或2B．0

C．1或2D．2

[解析]　由题意，知

则a＝2.

[答案]　D

4．设全集U是实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（　　）

A．{x|－2≤x<1}

B．{x|－2≤x≤2}

C．{x|1

D．{x|x<2}

[解析]　阴影部分表示的集合为N∩（∁UM）＝{x|－2≤x<1}，故选A.

[答案]　A

5．设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2＋px＋q＝0}，若

∁UM＝{－1,1}，则实数p＋q的值为（　　）

A．－1B．－5

C．5D．1

[解析]　由已知可得M＝{2,3}，

则2,3为方程x2＋px＋q＝0的两根，

则p＝－（2＋3）＝－5，q＝2×3＝6.

故p＋q＝－5＋6＝1.故选D.

[答案]　D

二、填空题

6．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3

[解析]　借助数轴得∁UA＝{x|x＝－3或x>4}．

[答案]　{x|x＝－3或x>4}

7．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则（∁UA）∪B为________．

[解析]　由U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2,3}，

得∁UA＝{0,4}，因为B＝{2,4}，

所以（∁UA）∪B＝{0,2,4}．

[答案]　{0,2,4}

8．设全集U＝{0,1,2,3}，集合A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.

[解析]　∵U＝{0,1,2,3}，∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.

[答案]　－3

三、解答题

9．设集合A＝{x|－5≤x≤3}，B＝{x|x<－2或x>4}，求A∩B，（∁RA）∪（∁RB）．

[解]　A∩B＝{x|－5≤x≤3}∩{x|x<－2或x>4}＝{x|－5≤x<－2}，∁RA＝{x|x<－5或x>3}，∁RB＝{x|－2≤x≤4}．

∴（∁RA）∪（∁RB）＝{x|x<－5或x>3}∪{x|－2≤x≤4}＝{x|x<－5或x≥－2}．

10．已知集合A＝{x|2a－2

[解]　∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅，因为A∁RB，

所以分A＝∅和A≠∅两种情况讨论．

①若A＝∅，此时有2a－2≥a，所以a≥2.

②若A≠∅，则有

或

所以a≤1.综上所述，a≤1或a≥2.

综合运用

11．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－2或x>4}，那么集合（∁UA）∩（∁UB）等于（　　）

A．{x|3

C．{x|3≤x<4}D．{x|－1≤x≤3}

[解析]　∵∁UA＝{x|x<－2或x>3}，∁UB＝{x|－2≤x≤4}，∴（∁UA）∩（∁UB）＝{x|3

[答案]　A

12．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩（∁IM）＝∅，则M∪N等于（　　）

A．MB．N

C．ID．∅

[解析]　因为N∩（∁IM）＝∅，所以N⊆M（如图），所以M∪N＝M.

[答案]　A

13．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，若B∪（∁UB）＝A，则∁UB＝__________________.

[解析]　因为B∪（∁UB）＝A，所以A＝U.

①当x2＝3时，x＝±

，B＝{1,3}，∁UB＝{

}或{－

}．

②当x2＝x时，x＝0或1.当x＝0时，B＝{0,1}，∁UB＝{3}；而当x＝1时不合题意，舍去．

[答案]　{－

}或{

}或{3}

14．已知R为实数集，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪（∁RA）＝R，B∩（∁RA）＝{x|0

[解析]　

∵A＝{x|1≤x≤2}，

∴∁RA＝{x|x<1或x>2}．

又B∪（∁RA）＝R，A∪（∁RA）＝R，可得A⊆B.

而B∩（∁RA）＝{x|0

∴{x|0

借助于数轴可得B＝A∪{x|0

[答案]　{x|0

15．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3

（1）求A∪B，（∁RA）∩B；

（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．

[解]　

（1）因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3

因为A＝{x|2≤x<7}，所以∁RA＝{x|x<2或x≥7}，

则（∁RA）∩B＝{x|7≤x<10}．

（2）因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x

所以a>2，所以a的取值范围是{a|a>2}．