高斯小学奥数四年级上册含答案第19讲火车行程进阶.docx

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高斯小学奥数四年级上册含答案第19讲火车行程进阶

第十九讲 火车行程进阶

上一讲中我们已经学习了火车行程中的火车过桥、火车过人、火车过车这三种基本类

型．解决火车行程问题，最重要的是要学会画图，将火车行程过程转化为最后对齐的两个位

置的相遇或追及过程．

接下来，我们来介绍较复杂的火车行程问题．

我们已经学过了火车与火车的相遇与追及，追及问题一般是指两列火车从开始追上到完

全超过所经历的过程．接下来看两类特殊的火车与火车的追及问题，齐头行进或齐尾行进．

始

末

乙车

乙车

始

甲车

甲车

① 齐头并进

始

末

乙车

乙车

甲车

甲车

始

② 齐尾并进

与之前分析过程一样，首先找到最后对齐的部位，并找到其初始位置，将火车行程过程

转化为甲车尾与乙车头的追及过程，可以总结如下：

齐头并进：

从出发到离开（即超过）时刻，两车路程差为快车车长．

齐尾并进：

从出发到离开（即超过）时刻，两车路程差为慢车车长．

例题 1

（1）现有 D 字头动车和 T 字头特快同时同向齐头行进，动车每秒行 60 米，特快每秒行 40

米，经过 8 秒后动车超过特快．请问：

D 字头动车车长多少米？

（2）现有 D 字头动车和 T 字头特快车尾对齐，同时同向行进，动车每秒行 60 米，特快每

秒行 40 米，经过 10 秒后动车超过特快．请问：

T 字头特快车车长多少米？

「分析」题

（1）中，火车从齐头开始出发，到超过为止，快车车长（D 字头动车车长）即

为路程差，所以求路程差即可．

练习 1

（1） 现有两列火车，如果这两列火车同时同向齐头行进，快车每秒行 20 米，慢车每秒行

9 米，行 10 秒后快车超过慢车．请问：

快车车长多少米？

（2） 现有两列火车，快车每秒行 20 米，慢车每秒行 9 米，如果这两列火车车尾对齐，同

时同向行进，则 15 秒后快车超过慢车．请问：

慢车车长是多少米？

．

在现实生活中，有很多行程问题都会涉及到运动对象本身的长度，比如队列、队伍等

等．下面我们看一下另外一类比较特殊的火车行程——队列行程问题．这类问题主要包含两

种基本类型（队伍是匀速前进的）：

“人从队头走到队尾”与“人从队尾走到队头”

①人从队头走到队尾：

始

始

行人

队伍

末

从图中可以看出，这类问题其实就是队列与行人的相遇过程，队列与行人的路程和即为

队列长度．

②人从队尾跑到队头：

行人

始

末

末

队伍

从图中可以看出，这类问题其实就是队列与行人的追及过程，只不过，这里的行人要比

“火车”还要快，行人与队列的路程差即为队列长度．

例题 2

某解放军队伍长 450 米，以每秒 2 米的速度行进．一名战士以每秒 3 米的速度从排尾跑

到排头需要多长时间？

然后从排头返回排尾，又需要多少时间？

「分析」从排尾到排头，即为战士与队伍的追及过程，要计算时间，就需要找到路程差与速

度差．

练习 2

某学校组织学生去春游，队伍长 540 米，并以每秒 2 米的速度前进，一名学生以每秒 4

米的速度从队尾跑到队头，再回到队尾，共用多少分钟？

在之前学习的盈亏、和差倍等应用题中，我们用到了比较的方法．在行程问题中，往往

也会应用到比较的思想．

例题 3

一列火车完全通过 460 米长的隧道用 30 秒，以同样的速度完全通过 410 米的隧道用 28

秒．请问：

这列火车的速度是每秒多少米？

「分析」本题包含两个“火车通过桥”的过程，一一分析，可以计算出什么吗？

不妨把两次

的时间和路程列出来，比较一下，寻找对应的时间和路程，进而计算火车速度．

练习 3

一列客车完全通过 530 米长的桥用了 50 秒，以同样速度完全通过 380 米长的山洞用了

40 秒．请问：

这列客车的速度是每秒多少米？

火车行驶的过程中，火车行驶的距离只需要看火车上的某一个点即可，可以是火车头或

者火车尾，当然，也可以是火车的某一个窗户．

对于坐在火车某个窗户旁边的人来说，他的速度其实就是火车前进的速度．

接下来，我们分析一下火车中的人观察其他火车经过的过程：

③ 相遇

始

乙车

始

甲车

乙车

甲车

末

④ 追及

乙车

始                 末

乙车

甲车

甲车

始

从图中可以看出，这类型的行程过程，其实就是人与另外一辆火车的相遇或追及过程，

对应的路程和或路程差其实都是另外一辆火车的车长，与人所乘坐的火车长度没有关系．

例题 4

甲、乙两列火车同向而行，甲车在前，乙车在后．甲车长 320 米，每秒行 20 米；乙车

长 480 米．坐在甲车上的小王老师从乙车车头经过她的车窗时开始计时，到车尾经过她的车

窗为止共用 96 秒．那么乙车的速度是多少？

「分析」题目所叙述的过程，其实是乙车与王老师的追及过程，请画图分析一下，路程

差是什么呢？

跟甲车车长、乙车车长有什么关系呢？

练习 4

动车和直达列车相向而行．动车长 600 米，每秒行 60 米；直达列车长 900 米，每秒行

30 米．坐在动车上的小王老师记录了从直达列车车头经过她车窗，到车尾经过她车窗所用

的时间．那么这个时间是多少？

例题 5

一列火车通过一座长 1000 米的桥，从火车车头上桥，到车尾离开桥共用 120 秒，而火

车完全在桥上的时间是 80 秒．请问：

火车车长多少？

「分析」本题涉及到两个过程：

一个是火车通过桥，一个是火车完全在桥上．一一分析，

两个过程都无法计算．不妨把两次的时间和路程列出来，比较一下，寻找对应的时间和路程，

进而计算火车速度与车长．

从前面的分析中，我们已经知道，火车中的人与另外一辆火车的相遇与追及过程，其实

就是人与另外一辆火车的相遇与追及，和人所乘坐的车长是没有关系的．而解决这类题目，

关键的一步就是要找到人的速度．

如果人在车上静止，那么人的速度就是车的速度．如果人在车上行走呢？

我们看一个简单例子：

一列火车以每秒 20 米的速度行驶，乘务员以每秒 1 米的速度在

车厢内沿着火车前进的方向向前走，那么在地面上静止的人来看，乘务员的前进速度是多少

呢？

如果乘务员以每秒 1 米的速度在车厢内沿着火车前进的反方向向前走，那么对于地面上

静止的人，乘务员的前进速度又是多少呢？

我们可以这么想：

火车 1 秒钟前进了 20 米，如果乘务员行走方向跟火车一样，那么在

火车带着他前进了 20 米的基础上他又往前走了 1 米，所以对于地面来说，乘务员其实是走

了 21 米，所以他的速度就是每秒钟 21 米，即车与人的速度和；同样的道理，如果乘务员的

行走方向与火车相反，那么他对于地面的速度就是车与人的速度差．

例题 6

货车和客车同向行驶，由于货车有紧急任务，因此开始赶超客车．小高在客车内沿着客

车前进的方向向前走，发现货车用 140 秒就超过了他．已知小高在客车内行走的速度为每秒

1 米，客车的速度为每秒 20 米，客车长 350 米，货车长 280 米．求：

（1）货车的行驶速度；

（2）货车从追上客车到完全超过客车所需要的时间．

「分析」小高在客车内行走，那么他的实际速度是多少呢？

货车与小高的追及过程，路程差

是什么呢？

画图好好分析一下吧！

课堂内外

白（黄）色安全线

火车站台或者地铁的站台边都会有一条白色或者黄色的安全线，当列车进站的时候，车

站的工作人员都会提醒人们注意站在安全线的后面，不过那并不是怕乘客拥挤掉下去，到底

是为什么呢？

据铁路史志记载，这条安全线来源于近百年前的一场惨案．1905 年冬天，在俄国一个

名鄂洛多克的小车站上，站长率全站 38 名员工身着盛装、手持鲜花，列队站在铁路线两旁

恭候沙皇尼古拉二世派来视察的钦差大臣．然而，遗憾的是，列车没有缓缓进站，而是狂风

般冲进了“人巷”，刹那间“人巷”倒塌了，数十名员工仿佛背后被人猛推了一掌，不由自

主向前倒去．结果造成 34 人丧生，4 人终生残疾．

由于当时科技水平有限，人们对此无法解释．后来人们才弄明白惨案真相．

在一个流体系统，比如气流、水流中，流速越快，流体产生的压力就越小，这就是被称

为“流体力学之父”的丹尼尔•伯努利 1738 年发现的“伯努利定律”．

在行驶的汽车或者火车窗外，紧挨着车身的空气由于车身的带动而流速较快，从而产生

比正常的大气压更小的气压，并且速度越快，这个气压就会越小，这样周围的空气就会把旁

边的物体推向火车．所以，火车高速行驶时，人站立太近的话就有可能被吸过去，那个后果

可真得会惨不忍睹啊．

而在站台上，即使在列车进站的时候车速减慢了很多，但在完全停稳之前，这个吸力还

是会存在．这个压力产生的力量是巨大的，空气能够托起沉重的飞机，就是利用了这一定

律．飞机机翼的上表面是流畅的曲面，下表面则是平面．这样，机翼上表面的气流速度就大

于下表面的气流速度，所以机翼下方气流产生的压力就大于上方气流的压力，飞机就被这巨

大的压力差“托住”了．

工程学上会用一个“伯努利公式”来计算，这个力到底有多大．所以，即使运行在站台

的列车速度并不是很快，也不要挑战自己，去试那个吸引力有多大．当我们在站台上等候火

车或地铁时，一定要站在白色安全线外．

作业

1.蛇妈妈和蛇宝宝比赛跑步，齐头并进，从出发到最后蛇妈妈恰好完全超过蛇宝宝用了

10 秒钟的时间．已知蛇妈妈的速度是每秒 5 米，蛇宝宝的速度是每秒 4 米．那么蛇妈

妈的长度多少米？

2.蛇妈妈和蛇宝宝比赛跑步，齐尾并进，从出发到最后蛇妈妈恰好完全超过蛇宝宝用了5

秒钟的时间．已知蛇妈妈的速度是每秒 5 米，蛇宝宝的速度是每秒 4 米．那么蛇宝宝的

长度多少米？

3.麦兜参加学校军训，所在班队伍长 20 米，以每秒 1 米的速度前进．麦兜以每秒 3 米的

速度从队尾跑到队头需要多长时间？

4.一列火车通过 220 米长的大桥需要 20 秒，以同样的速度通过 300 米长的隧道需要 24

秒．这列火车长多少米？

5.一列快车和一列慢车相向行驶，坐在快车上面的小王老师，从慢车经过她的窗口开始计

时，到完全经过她的窗口结束，共计 10 秒钟．已知快车长 200 米，速度是每秒 20 米；

慢车长 380 米，那么慢车的速度是每秒多少米？

第十九讲 火车行程进阶

1.例题 1

答案：

160 米；200 米

（

详解：

 1）齐头并进，路程差即快车车长，（60 - 40）⨯ 8 = 160 米；

（2）齐尾并进，路程差即慢车

车长， （60 - 40 ）⨯ 10 = 200 米．

2.例题 2

答案：

450 秒；90 秒

详解：

（1）从排尾跑到排头，路程差为队伍长度，所以时间是 450 ÷ （3 - 2） = 450 秒；

（2）从排

头跑到排尾，路程和为队伍长度，所以时间是 450 ÷ （3 + 2） = 90 秒．

3.例题 3

答案：

25 米/秒

，”

详解：

火车 30 秒的路程是“ 460米 + 车长 ” 28 秒的路程是“ 410米 + 车长 ，时间差为 30 - 28 = 2

秒，路程差为 460 - 410 = 50 米，所以速度为 50 ÷ 2 = 25 米/秒．

4.例题 4

答案：

25 米/秒

详解：

乙车与小王老师的追及过程，路程差为乙车车长 480 米，时间为 96 秒，所以速度差为

480 ÷ 96 = 5 米/秒，小王老师速度即为甲车速度 20 米/秒，所以乙车速度为 20 + 5 = 25 米/秒．

5.例题 5

答案：

200 米

，”

详解：

火车 120 秒的路程为“1000米 + 车长 ” 80 秒的路程为“1000米 - 车长 ，比较可得火车

40 秒的路程为“2 个车长”，即 20 秒的路程为“车长”，而 12 秒的路程为“1000米 + 车长 ”，所

以火车 100 秒的路程为 1000 米，速度为 1000 ÷100 = 10 米/秒，车长为 120 ⨯10 - 1000 = 200 米．

6.例题 6

答案：

23 米/秒；210 秒

（

（

详解：

 1）小高的实际速度为 20 + 1 = 21 米/秒，货车与小高的追及过程，时间为140 秒，路程差

为货车车长 280，所以速度差为 280 ÷140 = 2 米/秒，所以货车速度为 21+ 2 = 23 米/秒； 2）货车

与 客 车 的 追 及 时 间 ， 路 程 差 为 两 车 车 长 之 和 即 350 + 280 = 630 米 ， 所 以 时 间 为

630 ÷ （23 - 20） = 210 秒．

7.练习 1

答案：

110 米；165 米

详解：

（1）齐头并进，路程差为快车车长， （20 - 9）⨯10 = 110 米；

（2）齐尾并进，路程差为慢车

车长， （20 - 9）⨯15 = 165 米．

8.练习 2

答案：

6 分钟

详解：

从队尾跑到队头，路程差为队伍长度，所以时间是 540 ÷ （4 - 2） = 270 秒；从队头跑回队

尾，路程和为队伍长度，所以时间是 540 ÷ （4 + 2） = 90 秒，一共用了 270 + 90 = 360 秒即 6 分钟．

9.练习 3

答案：

15 米/秒

，”

简答：

50 秒的路程是“ 530米 + 车长 ” 40 秒的路程是“ 380米 + 车长 ，时间差为 50 - 40 = 10 秒，

路程差为 530 - 380 = 150 米，所以速度为 150 ÷10 = 15 米/秒．

10.练习 4

答案：

10 秒

简答：

直达列车与小王老师的相遇过程，路程和即直达列车车长 900 米，速度和为 60 + 30 = 90 米

/秒，所以时间为 900 ÷ 90 = 10 秒．

11.作业 1

答案：

10 米

简答：

齐头并进，路程差为快车车长，即蛇妈妈的长度，为 （5 - 4）⨯10 = 10 米．

12.作业 2

答案：

5 米

简答：

齐尾并进，路程差为慢车车长，即蛇宝宝的长度，为 （5 - 4）⨯ 5 = 5 米．

13.作业 3

答案：

10 秒

简答：

从队尾跑到队头，速度差为队伍长度 20 米，所以时间为 20 ÷ （3 - 1） = 10 秒．

14.作业 4

答案：

180 米

，”

简答：

20 秒的路程是“ 220米 + 车长 ” 24 秒的路程是“ 300米 + 车长 ，时间差为 24 - 20 = 4 秒，

路程差为 300 - 220 = 80 米，所以速度为 80 ÷ 4 = 20 米/秒，所以火车车长为 20 ⨯ 20 - 220 = 180 米．

15.作业 5

答案：

18 米/秒

简答：

慢车与小王老师的相遇过程，路程和为慢车车长 380 米，时间为 10 秒，所以速度和为

380 ÷10 = 38 米/秒，小王老师速度即为快车速度 20 米/秒，所以慢车速度为 38 - 20 = 18 米/秒．