高一数学高中数学必修第二平面向量单元测试题及答案解析.doc

高一数学高中数学必修第二平面向量单元测试题及答案解析.doc

《高一数学高中数学必修第二平面向量单元测试题及答案解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学高中数学必修第二平面向量单元测试题及答案解析.doc（14页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

第二章测试

（时间：

120分钟，满分：

150分）

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．有下列四个表达式：

①|a＋b|＝|a|＋|b|；

②|a－b|＝±（|a|－|b|）；

③a2>|a|2；

④|a·b|＝|a|·|b|.

其中正确的个数为（　　）

A．0 B．2

C．3 D．4

2．下列命题中，正确的是（　　）

A．a＝（－2,5）与b＝（4，－10）方向相同

B．a＝（4,10）与b＝（－2，－5）方向相反

C．a＝（－3,1）与b＝（－2，－5）方向相反

D．a＝（2,4）与b＝（－3,1）的夹角为锐角

3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝（　　）

A. B.

C. D．4

4．已知向量a＝，b＝（x＋1,2），其中x>0，若a∥b，则x的值为（　　）

A．8 B．4

C．2 D．0

5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·（＋）等于（　　）

A. B.

C．－ D．－

6．若向量a＝（1,1），b＝（2,5），c＝（3，x），满足条件（8a－b）·c＝30，则x＝（　　）

A．6 B．5

C．4 D．3

7．向量a＝（－1,1），且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是（　　）

A．（－1,1） B．（－1，＋∞）

C．（1，＋∞） D．（－∞，1）

8．设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角的余弦值为（　　）

A. B.

C. D.

9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝（　　）

A.a＋b B.a＋b

C.a＋b D.a＋b

10．已知点B为线段AC的中点，且A点坐标为（－3,1），B点坐标为，则C点坐标为（　　）

A．（1，－3） B.

C．（4,2） D．（－2,4）

11．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围是（　　）

A. B.

C. D.

12．在△ABC所在平面内有一点P，如果＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比是（　　）

A. B.

C. D.

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上）

13．已知a＝（2cosθ，2sinθ），b＝（3，），且a与b共线，θ∈[0,2π），则θ＝________.

14．假设|a|＝2，b＝（－1,3），若a⊥b，则a＝________.

15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若·＝·＝2，那么c＝__________.

16．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：

①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝（1，k），b＝（－2,6），a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.

其中真命题的序号为________．（写出所有真命题的序号）

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.

（1）当m为何值时，c与d垂直？

（2）当m为何值时，c与d共线？

18．（12分）如图所示，在△ABC中，∠C为直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：

AD⊥CE.

19．（12分）已知在△ABC中，A（2，－1），B（3,2），C（－3，－1），AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．

20．（12分）在直角坐标系中，已知＝（4，－4），＝（5,1），在方向上的射影数量为||，求的坐标．

21．（12分）

如图，在平面斜坐标系xOy中．∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若＝xe1＋ye2（其中e1，e2分别为与x轴，y轴同方向的单位向量），则点P的斜坐标为（x，y）．

（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求点P到O的距离|OP|；

（2）求以O为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程．

22．（12分）如图，在四边形ABCD中，＝λ（λ∈R），||＝||＝2，|－|＝2，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形．

（1）求λ的值；

（2）求·的值．

1.解析　对于①仅当a与b同向时成立．对于②左边|a－b|≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a2＝|a|2，∴a2>|a|2不成立．对于④当a⊥b时不成立，综上知，四个式子都是错误的．

答案　A

2.解析　在B中，a＝（4,10）＝－2（－2，－5）＝－2b，

∴a与b方向相反．

答案　B

3.解析　∵|a＋3b|2＝（a＋3b）2＝a2＋9b2＋6a·b＝1＋9＋6|a||b|cos60°＝13，∴|a＋3b|＝.

答案　C

4.解析　∵a∥b，∴（8＋x）×2－x（x＋1）＝0，即x2＝16，又x>0，∴x＝4.

答案　B

5.解析　M为BC的中点，得＋＝2＝，

∴·（＋）＝2.

又∵＝2，∴||＝||＝.

∴2＝||2＝.

答案　A

6.解析　8a－b＝8（1,1）－（2,5）＝（6,3），c＝（3，x），

∴（8a－b）·c＝（6,3）·（3，x）＝18＋3x.

又（8a－b）·c＝30，∴18＋3x＝30，x＝4.

答案　C

7.解析　依题意可设a＋2b＝λa（λ>0），

则b＝（λ－1）a，

∴a·b＝（λ－1）a2＝（λ－1）×2＝λ－1>－1.

答案　B

8.解析　∵（3e1＋4e2）·e1＝3e＋4e1·e2＝3×12＋4×1×1×cos60°＝5，|3e1＋4e2|2＝9e＋16e＋24e1·e2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37.

∴|3e1＋4e2|＝.

设3e1＋4e2与e1的夹角为θ，则

cosθ＝＝.

答案　D

9.解析　如图所示，＝＋，

由题意知，DE：

BE＝DF：

BA＝1：

3.

∴＝.

∴＝a＋b＋（a－b）＝a＋b.

答案　B

10.解析　设a与b的夹角为θ，

∵Δ＝|a|2－4a·b≥0，

∴a·b≤，∴cosθ＝≤＝.

∵θ∈[0，π]，∴θ∈.

答案　B

11.解析　设C（x，y），则由＝，得

＝，

∴⇒∴C（4,2）．

答案　C

12.解析　因为＋＋＝＝－，所以2＋＝0，＝－2＝2，所以点P是线段AC的三等分点（如图所示）．所以△PAB与△ABC的面积之比是.

答案　A

13.解析　由a∥b，得2cosθ＝6sinθ，∵cosθ≠0，

∴tanθ＝，又θ∈[0,2π），∴θ＝或.

答案　或π

14.解析　设a＝（x，y），则有x2＋y2＝20.①

又a⊥b，∴a·b＝0，∴－x＋3y＝0.②

由①②解得x＝3，y＝，或x＝－3，

y＝－，

∴a＝（3，），或a＝（－3，－）．

答案　（3，）或（－3，－）

15.解析　由题知

·＋·＝2，

即·－·＝·（＋）＝2＝2⇒c＝||＝.

答案　

16.解析　

当a＝0时，①不成立；对于②，若a∥b，则－2k＝6，∴k＝－3，②成立；对于③，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD＝60°，＝a＋b，由菱形的性质可知，a与a＋b的夹角为∠BAC＝30°.

答案　②

17.解　

（1）令c·d＝0，则（3a＋5b）·（ma－3b）＝0，

即3m|a|2－15|b|2＋（5m－9）a·b＝0，

解得m＝.

故当m＝时，c⊥d.

（2）令c＝λd，则3a＋5b＝λ（ma－3b）

即（3－λm）a＋（5＋3λ）b＝0，

∵a，b不共线，

∴解得

故当m＝－时，c与d共线．

18.证明　设此等腰直角三角形的直角边长为a，则

·＝（＋）·（＋）

＝·＋·＋·＋·

＝－a2＋0＋a·a·＋·a·

＝－a2＋a2＋a2＝0，

∴⊥，∴AD⊥CE.

19.解　设D点坐标为（x，y），则＝（x－2，y＋1），

＝（－6，－3），＝（x－3，y－2），

∵D在直线BC上，即与共线，

∴存在实数λ，使＝λ，

即（x－3，y－2）＝λ（－6，－3）．

∴∴x－3＝2（y－2），

即x－2y＋1＝0.①

又∵AD⊥BC，∴·＝0，

即（x－2，y＋1）·（－6，－3）＝0.

∴－6（x－2）－3（y＋1）＝0.②

由①②可得

∴||＝＝，

即||＝，D（1,1）．

20.解　设点M的坐标为M（x，y）．

∵在方向上的射影数量为||，

∴⊥，∴·＝0.

又＝（x，y），＝（5－x,1－y），

∴x（5－x）＋y（1－y）＝0.

又点O，M，A三点共线，∴∥.

∴＝.

∴解得

∴＝－＝（5－2,1＋2）＝（3,3）．

21.解　

（1）因为点P的斜坐标为（2，－2），故＝2e1－2e2，||2＝（2e1－2e2）2＝8－8e1·e2＝8－8cos60°＝4，

∴||＝2，即|OP|＝2.

（2）设圆上动点M的坐标为（x，y），则＝xe1＋ye2，

又||＝1.故（xe1＋ye2）2＝1.

∴x2＋y2＋2xye1·e2＝1.即x2＋y2＋xy＝1.

故所求方程为x2＋y2＋xy－1＝0.

22.解　

（1）因为＝λ，

所以BC∥AD，

且||＝λ||.

因为||＝||＝2，

所以||＝2λ.

又|－|＝2，

所以||＝2.

作AH⊥BD交BD于H，

则H为BD的中点．

在Rt△AHB中，有

cos∠ABH＝＝，

于是∠ABH＝30°，

所以∠ADB＝∠DBC＝30°.

而∠BDC＝90°，

所以BD＝BC·cos30°，即2＝2λ·，

解得λ＝2.

（2）由

（1）知，

∠ABC＝60°，||＝4，

所以与的夹角为120°，

故·＝||·||cos120°＝－4.