C・x>2D・x<2
拓展与延伸
例3・在AABC中，ZC=60°,BdAC=b,u+b=\6・
（1）试写出△ABC的而积S与边长“的函数关系式.
（2）当“等于多少时，S有最大值？
并求出这个最大值.
例4.在AABC中，a.b.c分别是A4BC的三边长，若cosA=-・
3
3+c
（1）求sin+cos2A的值；
2
（2）若"=求be的最大值.
（1）C知A-75\If-45\r-3/Z.^ci.缺
（2）已知A-30\li一120\b一12•求a.c.
3.根搠卜•列条fl解三伦形,
⑴3—10.c-20,C一25•:
—13•«-26.If-30*.
布置作业
1.选择题
1.在ZkABC中，已知a=&B=60\C=75*,则b等于（）
A.4血B.4a/3C.4a/6D.—
3
3.在MBC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）
A.Z?
=10,A=45°,C=75°B=60,b=4&C=60°
C.a=7,/?
=5,A=80oD.a=14,b=16,A=45。
4.已知A4BC,而积S=JJ,“=2jJ,b=2,则此三角形的内角C的度数是（）
A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°
5.在A4BC中，ZA=60°,"=、E,b=4,则满足条件的三角形有（）
（A）一解（B）两解（C）无解（D）不能确建
2.填空题
6.在AABC中,若A:
B:
C=1:
2:
3,则a:
b:
c=.
7.在AABC中，4=120°,3=15°,a=4,则b=
8.在A4BC中，A=120°,B=30°,«=8,则c=
9.已知A4BC.面积S=3+Ji,a=2jJ,b=、E+、总，则角C的度数是
10.在ZkABC中，已知ab=60.sinA=cosB.SAABc=15,则AABC的三个内角度数等于.
3.解答题
11.解厶ABC,
（1）已知ZA=45°,3=100,0=50^;
（2）已知ZA=18°.a=4,b=4（、S+l）.
12.解AABC,
（1）已知“=2馅，b=6,A=30°
（2）已知"=爲、b=B=45°
13.在/XMC中,已知b=2csinB,求ZC的度数.
14.在MBC中,已知宀=2（b+c）,a+2b=2c-3f若sinC:
sinA=4:
、厉，求“，b,C・
15.已知AABC中，tanA=2,tanB=3,a=l.⑴求ZC的度数；
（2）求ZkABC的而积.
TTS
16.已知ZXABC中，ZA.ZB.ZC的对边分别是eb、c,若COS"（―+A）+cosA=-,
24
b+c二/求A.B、C的大小。
课时2§11.1正弦定理
（二）
教学目标
学会利用正弦左理解决有关平几问题以及判断三角形形状•掌握转化与化归的数学思想.
教学重点
利用正弦泄理判断三角形形状.
教学难点
灵活利用正弦立理以及三角恒等变换公式.
教学过程：
形状.
尬令“4=&•山正弦处理•秒
SHI/1
a=A・b=怂inc=k^nnC：
代入已知条件•得
遵过正域定理,k国i实最边的九化.
-sinA=Q=sin
忙处Ag兰UcosC
即
tanA=Ian13=tanC
X几BfC€<0r兀），所以A=B=u从而△ABC为正三
举一反三
1.在ZiABC中,
tanA-sin2B=tansin2A,那么ZSABC—定是（）
A.锐角三角形B・直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形
2.在ZVIBC中，A为锐角,lgb+lg（丄）=lgsinA=Tg、伍，则AABC为（）
c
A.等戯三角形B•等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
3.在ZkABC中，已知cos2B-cos2C=l+cos2A,sinA=2sinBcosC,cosC=sinB・求证：
ZkABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形.
1在厶ABC中川1）地£加「的丫：
分线＜m1119）•用正弦
亢理证明
AB_BD
A€~DC'
iir设ZMD=ZBPA=0.则^CAD=a.=180°-
徉ffiAABI）和△ACD中分别运用iE枝泄理•御
/W=yinR
BD5ina
M_sin（180°-g）
DCsina
又sin（ISO9—fl）=sin0fft以
AW_ACBD-DC*
即
AB=BDZCDC*
AB_BDAC^DC
举一反三
1•在△ABC中•ZA的外角平分线交BC的延长线于I）,用正弦左理证明:
2.泄理:
P是AABC外的一点，直线PA、PB、PC依次与A4BC的三边BC^CA.AB或者它们的延长线相交于DE,F,求证:
兰•竺・—=1.
FBDCEA
3.
在奥运会垒球比赛前，C国教练布苣战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°方向把球击出，根据经验，通常情况下，球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样布置，游击手能否接着球？
拓展与延伸
例3.（2004年全国高考试题）已知锐角三角形ABC中，sin（A+3）=f,sin（A—3）={.
（1）求证：
tanA=2tanB;
（2）设AB=3,求AB边上的髙；
例4.（l）AABC中，B=60°,b=l,求证：
1G+cW2・
（2）在一个三角形中，若有一个内角不小于120°,求证：
最长边与最短边之比不小于厲・
教材练习
2.瞬F列条件•判斷MBC的形札
（1）8inA•sin;B—sinf：
（2）
crc»A—/wH.
布置作业
1.选择题
1.三角形ABC的三个内角A、B.C的对边分别是心b.c•若A=60°3=75°g2氐
则c的值（）A•等于2B•等于4C.等于2忑D.不确定
2.在钝角ZiABC中，已知AB二JLAC=hZB=30a,则ZkABC的面积是（）
AV3小3小3
A・上一B・上一C・一D・一
2424
3.在ZkABC中，已知d=5“,c=10,,ZA=30°,则ZB=（）
A」05°B.135°或45°C.450D.105°或15°
4.R是AABC的外接圆半径，若ab<4/?
2cosAcosB，则它的外心在（）
A.三角形一边的中点B.三角形的内部C.三角形的外部D.无法判断
5.已知ZkABC满足sinA+sin3=cosA+cosE则它的形状是（）
A.等腰三角形B•直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形
2.填空题
6.在ZkABC中，己知a=2y[^,b=6.A=30°，贝ijB=・
7.在ZkABC中，己知a=3©,cosC=—=4羽，则b=・
8.在△ABC中，已知a+b=\2yA=60°,B=45°，则a=,b=
9.在ZkABC中,已知加=20,Swc=5^3,AABC的外接圆半径为巧，则a=
10.在Z\ABC中，AB=<6-^ZC=30°,则AC+BC的最大值是。
3.解答题
11•在AABC中，已知ZA:
ZB=1:
2,求证：
-=U+h
ba+b+c
12•如图,ZXOY=60。
M是ZXOY内一点，它到两边的距离分别为2和11,求OM的长.
13.⑴请你用正弦左理证明（M劲弘呛左理）:
宜线/
与AABC的在三边AB.BC^CA或它们的延长线依
次相交于D、E,F侧兰•—=1.
DBECFA
（2）如图所示，直线BE分别与AADF的三边的延长线相交于B、C、E,请你写岀Menelaus^理的表达式.
14.在zMBC中，b=10,A=30°，问"取何值时，此三角形有一个解？
两个解？
无解？
15•在A4BC中，已知（a2-Z?
2）sin（A+B）=（a2+b2）sin（A-B）,判）tLAABC的形状.
16.在ZkABC中，已知角A,B,C所对的边分别为abc,若a+c=2b,
（1）求证：
2cos±t£=cos土兰⑵若B=-,试确定AABC形状
223
课时3§11.2余弦定理
（一）
教学目标
掌握余弦定理的推导过程，并利用余弦泄理，可以解决以下两类解斜三角形的问题:
（1）已知三边，求三个角：
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和英他两个角.
教学重点
三角形任何一边的平方等于苴他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.这样，我们得到余弦定理：
教学难点利用余弦定理判断锐角、钝角.
教学过程：
例JI
利用向量的有关知识证明余弦怎理.
cf=If十芒一2/>ccoesA
=3：
+1‘一2X3X1Xcos60°
=79
M以
a=®・
在△rWQ中.
（1）已知0=3.r=1.A=6（T•求at
（2）已5l1a=4・厶=5*=4躱AC粘励创0.D.解<1）lb余弦定理，待
（2）dj余弦定理•得
、方•厂“•厂-rc*
gA=z（）€=2X5X6二。
""
所议
41•护・
举一反三
1.已知在AABC中，sinA:
sinB:
sinC=3：
5：
7.那么这个三角形的最大角是（）A.135°B.90°C・120°D・150°
2.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边"、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.
13
3・在ZVIBC中，已知么=7,b=8,cosC=—,则最大角的余弦值是・
14
用余弦定理呗&A/1BC中•当ZC为锐角时.«?
+68>
r:
I当/C为純角时心十If<宀
证当NC沽悅角时-cosOO-Lb余弦定理•得
l!
|J
c=a'+&!
'门•!
>・
4i:
4->r.
同理町证•沔NC为饨角时.R+方举一反三
1、已知锐角三角形的边长分别是1.3、a,则a的取值范围是（）
2.已知钝角三角形ABC中，B>90°,g=2l5,b=x+l,c=4,求x的取值范围.
3・已知“、b、c为AABC的三边，且宀-"2。
=0,“+”-2。
+3=0,求这个三角形的最大内角.
拓展与延伸
例3•在AABC中，aj\c分别是AABC的三边长，若cosA=^.
3
（1）求sin2B+C+cos2A的值；
2
（2）若"=JJ,求be的最大值.
教材练习
1.在中.
（1）己知一60".卜—4•r—7•求cii
<2>Llill“一7皿一5■「一3・*八.
2.音三飯线段的丘为5••鼻了•则用这三条线段（）.
八•徒魁或H用三ffi形R徒灿或傥伯三曲形
C佬址或钝伯三弟形1>・不能纽成三角形
3.mABC中.己知“+•tf卜妙一r.试#ZC的天小.
J•两湖艇自某地冋时出发.•艇tl10km/h連发向正北行驶3am
7kmJh的速度向北個东45•的力向行驶•问肉过40mim两艇押H该远？
教材习题
1.在
（1）（2知a-24.A-13.C-108••求r•血
（2）己知3—2・c—10.A—42'•求°・B.Ci
（3）il知"一了・“一4*/3tc「/13i求加小内f0・
6.在厶ABC中.cl知“+•〃+""+ra）-36r.农.4的戊歆.
7・用*狡宦理证外在△ABC中・
<1）a—AxjsC*+rcosB；
CZ）b—ccosA-dcasC:
C3）c—ctmeB4■加g.4.
布置作业
1.选择题
1.在A4BC中，三边之比为a:
b:
c=2:
3:
佰，则WC最大角的大小是（）
A.60°B.1200C.300D.1500
2.在AABC中,a,b,c分别是ZA,ZB,ZC的对边长，则满足下列条件时，是钝角三角形的是（）
A.a:
b:
c=2:
3:
4B.a=4,b=5.c=6C.a=2k,b=k2-Lc=k2+l（k是正整数）D.A=-B=-C
23
3.在AABC中，若sin?
A+sin?
3=2sii?
c,则角C是（）
A.钝角B.直角C.锐角D.60°
4.在Z\ABC中，s宀沪-小,则角C的度数是（）
4
A.60°B.450C.30°D.45°或135°
5.某人向正东泄x千米后，再向右转150°,然后沿新的方向走3千米，结果他离出发点恰好为舲千米，那么x值为（）
（A）羽（B）2^/3（C）2上或上（D）3
2.填空题
6.已知△ABC,“=3,b=4,C=60。
，则c二
7.边长为5、7、8的三角形中，则最大角与最小角的和0
8.在WC中，gb,c分别是ZA,ZB,ZC的对边长，已知b是a、c的比例中项，
cr-c2=ac-be,贝ijZA的大小
9•在△ABC中，AB=2,BC=3,AC=<7,则AABC的而积为,AABC的外
接圆的而积为.
10..给出问题：
已知AABC中，满足acosA=bcosB,试判左AABC的形状.某学生的解答如下：
由条件可得一小,去分母整理可得
The2ac
（a2-b2）c2=（n2-Ir）（a2+ft2）,:
.c2=a2+b2.故AABC是直角三角形.该学生的解答是否正确？
若正确，请将他的解题主要依据填在下而横线上；若不正确，将正确的结果填在下面横线上.
3.解答题
11.在A4BC中，已知d=7,b=3,c=5,求最大角及sinC
12.在AABC中，已知a-b=4.a-K=2b,且最大角为120°,求三边的长
5只
13.在厶ABC中,A为钝角.sinB=—.2>a_7h=1.
（1）求A;
（2）%:
c.
14
14.在AABC中，BC=a,AC=b,且“,b是方程x2-2y[3x+2=0的两根，又
2cos（A+B）=l,
（1）求角C的度数；
（2）求AB的长；（3）AABC的面积
15.已知MBC的三边a,b,c和而积S有如下关系：
S=a2-（b-c）2,且b+c=8,求
AABC的面积S最大值。
16.设a,b,c分别是MBC的三边长，且a2+b2=mc2（m为常数）,
若_cotC_=1004求加的值
cotA+cotB
课时4§11.2余弦定理
（二）
教学目标
学会利用余弦左理解决有关平几问题以及判断三角形形状•掌握转化与化归的数学思想.
教学重点
利用余弦泄理判断三角形形状.
教学难点
灵活利用余弦立理以及三角恒等变换公式.
教学过程：
尬山正弦定理及氽孩定理•物
所以
因为A>o.c>0.所以b=c.lAlit.AAfr为毎腰三角形.
举一反三
1.已知方程x2+（ccosB）x-a=0的两根之和等于两根之积，其中a,c、B是AABC的
两边一角，则AABC形状是（）
A.等腰三角形
B•直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形
2.在ZkABC中，
froriAzy~
若^―-=—,则ZkABC的形状是（）tanBb2
A.直角三角形
B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形
3.在ZkABC中,
若cos'A+cos'3+cos'C=1.则Z\ABC的形状是。
如图11-24.AM抱△AZ3C中班、边上的中线•求证：
AM=夕阿沏〒繭卩HC\
迂设ZAW/J=⑴则ZAMC=180°一⑺
在ZIABM中.山余弦定理•得
AB:
=AM*+/3M—2AM./IVlcas«.
在△人GM中■由余弦定理•得
AC1=AM:
十iVf'•—2AVf•iVl'ccwC180°—a）.
因为CO承l80°-a）=—gg・=MC=^BC.
所以
AfT十W=2AM:
十^liC•
因此.
AM=,75（AB：
+,4C厂HC-
举一反三
1.已知A=6（y\b=&a边上的中线叫=|V129，解AABC（精确到0°）.
2
2.在ZVIBC中，I而1=3,1疋1=2,而与疋的夹角为60°，则丽-AC\=
\AB+AC\=・
Ab+c9
3.在ZV1BC中，cos2^=-^-=—,c=5,求ZBC的内切圆半径.
拓展与延伸
例3・半径为/?
的圆外接于ZVIBG且2/?
（sin2A-sin2C）=（V5a-b）sinB.
（1）求角c：
（2）求AABC而积的最大值.
教材练习
1・花4HC中・如%融A“mB"inCL2■3■4■耶么88C笹T<>.
2fkC一寺11-T
2-如讯,艮7ni的梯fBC席在斜®±•悌辟与里基郴现】・5m用顶花沿着堕向上6m的地再冰唯面和地面所说的ffja册确SO.D.
3.QJaia-2.6=3.C-60\试证明此三他形为《l角匚角形.
4•在厶“如申・址1临一心应一儿E『一2・b-•思小・b-石•采AtfFrtK・
教材习题
5.在△ABC中尼知C—加4艮试判斷MI#C的形状.
8•用余蛭足理证明:
平行四边形两对弟线平力的和暫F四边平方的札
10.在Z14BC中•已知2日=6+-r.sinA—貝n”《n「・试刿断厶ABC的形伏.
13.拗亂己知H1内援四边形ABCD的竝艮分别为AB—2.HC-6..V>CD一4.如啊求出四边形ABCD的面枳?
布置作业
1.选择题
1.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，则下列各式正确的是（）
A.—=—-—B.—-—=—-—C.asinB=bsinAD・asinC=csin3
s
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