(1)如果p是真命题,求实数a的取值范围;
(2)如果命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.
解
(1)若命题p为真命题,
则ax2-x+
a>0对x∈R恒成立.
当a=0时,-x>0,不合题意;
当a≠0时,可得
即
∴a>2.
(2)令y=3x-9x=-(3x-
)2+
.
由x>0,得3x>1,∴y=3x-9x的值域为(-∞,0).
若命题q为真命题,则a≥0.
由命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,得命题p,q一真一假.
当p真q假时,a不存在;当p假q真时,0≤a≤2.
∴满足条件的a的取值范围是{a|0≤a≤2}.
反思与感悟 解决此类问题的方法:
首先化简所给的两个命题p,q,得到它们为真命题时,相应参数的取值范围;然后,结合复合命题的真假情形,确定参数的取值情况,常用分类讨论思想.
跟踪训练4 已知命题p:
方程a2x2+ax-2=0在[-1,1]上有解;命题q:
只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0,若命题“p或q”是假命题,求实数a的取值范围.
解 对于命题p:
由a2x2+ax-2=0,
得(ax+2)(ax-1)=0,
显然a≠0,∴x=-
或x=
,
∵x∈[-1,1],故|-
|≤1或|
|≤1,即|a|≥1.
∴p为假时得|a|<1.
对于命题q:
只有一个实数x满足x2+2ax+2a≤0,
即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点,
由Δ=4a2-8a=0,得a=0或a=2.
∴q为假时得a≠0且a≠2.
又命题“p或q”为假,即p与q都为假命题,
∴a的取值范围是(-1,0)∪(0,1).
1.已知命题p、q,若p为真命题,则( )
A.p∧q必为真B.p∧q必为假
C.p∨q必为真D.p∨q必为假
答案 C
解析 p∨q,见真则真,故必有p∨q为真.
2.命题“xy≠0”是指( )
A.x≠0且y≠0B.x≠0或y≠0
C.x、y至少有一个不为0D.不都是0
答案 A
解析 满足xy≠0,即x,y两个都不为0,故选A.
3.已知p:
函数y=sinx的最小正周期为
,q:
函数y=sin2x的图象关于直线x=π对称,则p∧q是________命题.(填“真”或“假”)
答案 假
解析 据题命题p为假命题,命题q也是假命题,故p∧q是假命题.
4.已知命题p:
函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数;命题q:
函数g(x)=x2+ax在[1,2]上是增函数,若p∧q为真,则实数a的取值范围是________.
答案 [-2,
)
解析 命题p:
由函数f(x)在R上为减函数得2a-1<0,解得a<
,
命题q:
由函数g(x)=x2+ax在[1,2]上是增函数,
得-
≤1,解得a≥-2.
由p∧q为真得p、q都为真,故a的取值范围为(-∞,
)∩[-2,+∞),即为[-2,
).
5.已知命题p:
函数f(x)=(x+m)(x+4)为偶函数;命题q:
方程x2+(2m-1)x+4-2m=0的一个根大于2,一个根小于2,若p∧q为假,p∨q为真,求实数m的取值范围.
解 若命题p为真,则由f(x)=x2+(m+4)x+4m,得m+4=0,解得m=-4.
设g(x)=x2+(2m-1)x+4-2m,其图象开口向上,
若命题q为真,则g
(2)<0,即22+(2m-1)×2+4-2m<0,解得m<-3.
由p∧q为假,p∨q为真,得p假q真或p真q假.
若p假q真,则m<-3且m≠-4;
若p真q假,则m无解.
所以m的取值范围为(-∞,-4)∪(-4,-3).
1.判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是:
弄清构成它的命题条件、结论.
2.对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时,首先找出构成复合命题的简单命题,判断简单命题的真假,然后分析构成形式,根据构成形式判断复合命题的真假.
(1)“p∧q”形式的命题简记为:
同真则真,一假则假;
(2)“p∨q”形式的命题简记为:
同假则假,一真则真.
40分钟课时作业
一、选择题
1.“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 p∧q是真命题⇒p是真命题,且q是真命题⇒p∨q是真命题;p∨q是真命题⇏p∧q是真命题.
2.p:
方程x2+2x+a=0有实数根,q:
函数f(x)=(a2-a)x是增函数,若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,则实数a的取值范围是( )
A.a>0B.a≥0C.a>1D.a≥1
答案 B
解析 ∵方程x2+2x+a=0有实数根,
∴Δ=4-4a≥0,解得a≤1.
∵函数f(x)=(a2-a)x是增函数,
∴a2-a>0,解得a<0或a>1.
∵p∧q为假命题,p∨q为真命题,
∴p,q中一真一假.
①当p真q假时,得0≤a≤1;
②当p假q真时,得a>1.
由①②得,所求a的取值范围是a≥0.
3.命题p:
“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件,命题q:
△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件,则( )
A.p真q假B.p∧q为真
C.p∨q为假D.p假q真
答案 D
解析 命题p假,命题q真.
4.命题p:
点P在直线y=2x-3上;q:
点P在曲线y=-x2上,则使“p且q”为真命题的一个点P(x,y)是( )
A.(0,-3)B.(1,2)
C.(1,-1)D.(-1,1)
答案 C
解析 点(x,y)满足
解得P(1,-1)或P(-3,-9),故选C.
5.设命题p:
函数y=sin2x的最小正周期为
;命题q:
函数y=cosx的图象关于直线x=
对称.则下列判断正确的是( )
A.p为真B.q为真
C.p且q为假D.p或q为真
答案 C
解析 利用含逻辑联结词命题的真值表求解.
p是假命题,q是假命题,因此只有C正确.
6.给出下列命题:
①2>1或1>3;
②方程x2-2x-4=0的判别式大于或等于0;
③25是6或5的倍数;
④集合A∩B是A的子集,且是A∪B的子集.
其中真命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
答案 D
解析 ①由于2>1是真命题,所以“2>1或1>3”是真命题;
②由于方程x2-2x-4=0的Δ=4+16>0,所以“方程x2-2x-4=0的判别式大于或等于0”是真命题;
③由于25是5的倍数,所以命题“25是6或5的倍数”是真命题;
④由于A∩B⊆A,A∩B⊆A∪B,所以命题“集合A∩B是A的子集,且是A∪B的子集”是真命题.
二、填空题
7.命题“相似三角形的面积或周长相等”为________命题.(填“真”或“假”)
答案 假
解析 该命题是由命题p:
“相似三角形的面积相等”和命题q:
“相似三角形的周长相等”用逻辑联结词“或”联结构成的新命题.
因为p是假命题,q也是假命题,所以p∨q是假命题.
8.若命题p∨q为假命题,则命题“p∧q”是________命题.(填“真”或“假”)
答案 假
解析 因为p∨q为假命题,所以p,q都是假命题,
故p∧q必为假命题.
9.已知p:
x2-2x-3<0;q:
<0,若p且q为真,则x的取值范围是________.
答案 (-1,2)
解析 当p为真命题时,x2-2x-3<0,则-1当q为真命题时,x-2<0,则x<2.
当p且q为真命题时,p和q均为真命题,
从而-110.设p:
关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0},q:
函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,如果p和q有且仅有一个为真,则a的取值范围为______________.
答案 (0,
]∪[1,+∞)
解析 若p真,则0若p假,则a≥1或a≤0.
若q真,有
⇒a>
.
若q假,则a≤
,
又p和q有且仅有一个为真,
∴当p真q假时,0,
当p假q真时,a≥1,
综上所述,a∈(0,
]∪[1,+∞).
三、解答题
11.判断下列复合命题的真假.
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边;
(2)不等式x2-2x+1>0的解集为R且不等式x2-2x+2≤1的解集为∅.
解
(1)这个命题是“p且q”形式的复合命题,其中p:
等腰三角形顶角的平分线平分底边,q:
等腰三角形顶角的平分线垂直于底边,因为p真q真,则“p且q”为真,所以该命题是真命题.
(2)这个命题是“p且q”形式的复合命题,其中p:
不等式x2-2x+1>0的解集为R,q:
不等式x2-2x+2≤1的解集为∅.因为p假q假,所以“p且q”为假,故该命题为假命题.
12.设p:
函数f(x)=lg(ax2-4x+a)的定义域为R;q:
设a=(2x2+x,-1),b=(1,ax+2),不等式a·b>0对任意x∈(-∞,-1)恒成立.如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.
解 若p为真命题,则ax2-4x+a>0对x∈R都成立,
则(-4)2-4a2<0且a>0,即
解得a>2.
若q为真命题,则由a·b>0对任意x∈(-∞,-1)恒成立,
知2x2+x-(ax+2)>0,即a>2x-
+1对任意x∈(-∞,-1)恒成立,则a>(2x-
+1)max.
令f(x)=2x-
+1,可知f(x)在(-∞,-1)上是增函数,当x=-1时取得最大值,ymax=1.
故a≥1.
又p∨q为真命题,p∧q为假命题,则等价于p,q中一个为真命题,另一个为假命题.
若p真q假,则
无解;
若p假q真,则
则1≤a≤2.
综上,实数a的取值范围为[1,2].
13.已知c>0,设命题p:
函数y=cx为减函数.命题q:
当x∈
时,函数f(x)=x+
>
恒成立.如果“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求c的取值范围.
解 由命题p为真知,0由命题q为真知,2≤x+
≤
,
要使此式恒成立,需
<2,即c>
,
若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,
则p、q中必有一真一假,
当p真q假时,c的取值范围是0;
当p假q真时,c的取值范围是c≥1.
综上可知,c的取值范围是0或c≥1.