经典等差数列性质练习题.docx
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经典等差数列性质练习题
等差数列基础习题选（附有详细解答）
一．选择题（共26小题）
1．已知等差数列{an}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（ ）
A．
B．
1
C．
D．
﹣1
2．已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是（ ）
A．
以7为首项，公差为2的等差数列
B．
以7为首项，公差为5的等差数列
C．
以5为首项，公差为2的等差数列
D．
不是等差数列
3．在等差数列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，则n等于（ ）
A．
23
B．
24
C．
25
D．
26
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=6，a4=8，则公差d=（ ）
A．
一1
B．
2
C．
3
D．
一2
5．两个数1与5的等差中项是（ ）
A．
1
B．
3
C．
2
D．
6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（ ）
A．
﹣2
B．
﹣3
C．
﹣4
D．
﹣5
7．（2012•福建）等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（ ）
A．
0
B．
8
C．
3
D．
11
9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（ ）
A．
25
B．
24
C．
20
D．
19
10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若满足an=an﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（ ）
A．
5
B．
3
C．
﹣1
D．
1
11．（2005•黑龙江）如果数列{an}是等差数列，则（ ）
A．
a1+a8＞a4+a5
B．
a1+a8=a4+a5
C．
a1+a8＜a4+a5
D．
a1a8=a4a5
12．（2004•福建）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=（ ）
A．
1
B．
﹣1
C．
2
D．
13．（2009•安徽）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（ ）
A．
﹣1
B．
1
C．
3
D．
7
14．在等差数列{an}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（ ）
A．
B．
C．
D．
15．已知Sn为等差数列{an}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（ ）
A．
6
B．
7
C．
8
D．
9
16．已知数列{an}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（ ）
A．
30
B．
35
C．
36
D．
24
17．（2012•营口）等差数列{an}的公差d＜0，且，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是（ ）
A．
5
B．
6
C．
5或6
D．
6或7
18．（2012•辽宁）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（ ）
A．
58
B．
88
C．
143
D．
176
19．已知数列{an}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（ ）
A．
﹣1
B．
0
C．
1
D．
2
20．（理）已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣8n，第k项满足4＜ak＜7，则k=（ ）
A．
6
B．
7
C．
8
D．
9
21．数列an的前n项和为Sn，若Sn=2n2﹣17n，则当Sn取得最小值时n的值为（ ）
A．
4或5
B．
5或6
C．
4
D．
5
22．等差数列{an}中，an=2n﹣4，则S4等于（ ）
A．
12
B．
10
C．
8
D．
4
23．若{an}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{an}的前10项和为（ ）
A．
230
B．
140
C．
115
D．
95
24．等差数列{an}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（ ）
A．
5
B．
25
C．
50
D．
100
25．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
26．设an=﹣2n+21，则数列{an}从首项到第几项的和最大（ ）
A．
第10项
B．
第11项
C．
第10项或11项
D．
第12项
二．填空题（共4小题）
27．如果数列{an}满足：
= _________ ．
28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f
（1）=2，则f（100）= _________ ．
29．等差数列{an}的前n项的和，则数列{|an|}的前10项之和为 _________ ．
30．已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：
an==（n为正整数），求数列{bn}的前n项和Sn．
参考答案与试题解析
一．选择题（共26小题）
1．已知等差数列{an}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（ ）
A．
B．
1
C．
D．
﹣1
考点：
等差数列．
专题：
计算题．
分析：
本题可由题意，构造方程组，解出该方程组即可得到答案．
解答：
解：
等差数列{an}中，a3=9，a9=3，
由等差数列的通项公式，可得
解得，即等差数列的公差d=﹣1．
故选D
点评：
本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题．
2．已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是（ ）
A．
以7为首项，公差为2的等差数列
B．
以7为首项，公差为5的等差数列
C．
以5为首项，公差为2的等差数列
D．
不是等差数列
考点：
等差数列．
专题：
计算题．
分析：
直接根据数列{an}的通项公式是an=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论．
解答：
解：
因为an=2n+5，
所以a1=2×1+5=7；
an+1﹣an=2（n+1）+5﹣（2n+5）=2．
故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列．
故选A．
点评：
本题主要考查等差数列的通项公式的应用．如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．
3．在等差数列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，则n等于（ ）
A．
23
B．
24
C．
25
D．
26
考点：
等差数列．
专题：
综合题．
分析：
根据a1=13，a3=12，利用等差数列的通项公式求得d的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让其等于2得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．
解答：
解：
由题意得a3=a1+2d=12，把a1=13代入求得d=﹣，
则an=13﹣（n﹣1）=﹣n+=2，解得n=23
故选A
点评：
此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=6，a4=8，则公差d=（ ）
A．
一1
B．
2
C．
3
D．
一2
考点：
等差数列．
专题：
计算题．
分析：
根据等差数列的前三项之和是6，得到这个数列的第二项是2，这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差．
解答：
解：
∵等差数列{an}的前n项和为Sn，
S3=6，
∴a2=2
∵a4=8，
∴8=2+2d
∴d=3，
故选C．
点评：
本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三倍，这样可以简化题目的运算．
5．两个数1与5的等差中项是（ ）
A．
1
B．
3
C．
2
D．
考点：
等差数列．
专题：
计算题．
分析：
由于a，b的等差中项为，由此可求出1与5的等差中项．
解答：
解：
1与5的等差中项为：
=3，
故选B．
点评：
本题考查两个数的等差中项，牢记公式a，b的等差中项为：
是解题的关键，属基础题．
6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（ ）
A．
﹣2
B．
﹣3
C．
﹣4
D．
﹣5
考点：
等差数列．
专题：
计算题．
分析：
设等差数列{an}的公差为d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，结合公差为整数进而求出数列的公差．
解答：
解：
设等差数列{an}的公差为d，
所以a6=23+5d，a7=23+6d，
又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，
所以，
因为数列是公差为整数的等差数列，
所以d=﹣4．
故选C．
点评：
解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算．
7．（2012•福建）等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
等差数列的通项公式．
专题：
计算题．
分析：
设数列{an}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．
解答：
解：
设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，
故选B．
点评：
本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（ ）
A．
0
B．
8
C．
3
D．
11
考点：
等差数列的通项公式．
专题：
计算题．
分析：
先确定等差数列的通项，再利用，我们可以求得的值．
解答：
解：
∵为等差数列，，，
∴
∴bn=b3+（n﹣3）×2=2n﹣8
∵
∴b8=a8﹣a1
∵数列的首项为3
∴2×8﹣8=a8﹣3，
∴a8=11．
故选D
点评：
本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题．
9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（ ）
A．
25
B．
24
C．
20
D．
19
考点：
等差数列的通项公式．
专题：
计算题．
分析：
（法一）：
根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数求解，
（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．
解答：
解法一：
设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1=11
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{an}的公差d=3×4=12，
∴an=11+12（n﹣1）=12n﹣1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴an=12n﹣1≤302，即n≤．
又∵n∈N*，
∴两个数列有25个相同的项．
故选A
解法二：
设5，8，11，与3，7，11，分别为{an}与{bn}，则an=3n+2，bn=4n﹣1．
设{an}中的第n项与{bn}中的第m项相同，
即3n+2=4m﹣1，∴n=m﹣1．
又m、n∈N*，可设m=3r（r∈N*），得n=4r﹣1．
根据题意得1≤3r≤1001≤4r﹣1≤100解得≤r≤
∵r∈N*
从而有25个相同的项
故选A
点评：
解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高．
10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若满足an=an﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（ ）
A．
5
B．
3
C．
﹣1
D．
1
考点：
等差数列的通项公式．
专题：
计算题．
分析：
根据递推公式求出公差为2，再由S3=9以及前n项和公式求出a1的值．
解答：
解：
∵an=an﹣1+2（n≥2），∴an﹣an﹣1=2（n≥2），
∴等差数列{an}的公差是2，
由S3=3a1+=9解得，a1=1．
故选D．
点评：
本题考查了等差数列的定义，以及前n项和公式的应用，即根据代入公式进行求解．
11．（2005•黑龙江）如果数列{an}是等差数列，则（ ）
A．
a1+a8＞a4+a5
B．
a1+a8=a4+a5
C．
a1+a8＜a4+a5
D．
a1a8=a4a5
考点：
等差数列的性质．
分析：
用通项公式来寻求a1+a8与a4+a5的关系．
解答：
解：
∵a1+a8﹣（a4+a5）=2a1+7d﹣（2a1+7d）=0
∴a1+a8=a4+a5
∴故选B
点评：
本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质．
12．（2004•福建）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=（ ）
A．
1
B．
﹣1
C．
2
D．
考点：
等差数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．
解答：
解：
设等差数列{an}的首项为a1，由等差数列的性质可得
a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，
∴====1，
故选A．
点评：
本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）an．
13．（2009•安徽）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（ ）
A．
﹣1
B．
1
C．
3
D．
7
考点：
等差数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．
解答：
解：
由已知得a1+a3+a5=3a3=105，
a2+a4+a6=3a4=99，
∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．
∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．
故选B
点评：
本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．
14．在等差数列{an}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
数列的求和；等差数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数列的前n项的和．
解答：
解：
∵等差数列{an}中，a2=4，a6=12；
∴公差d=；
∴an=a2+（n﹣2）×2=2n；
∴；
∴的前n项和，
=
两式相减得
=
∴
故选B
点评：
求数列的前n项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法．
15．已知Sn为等差数列{an}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（ ）
A．
6
B．
7
C．
8
D．
9
考点：
等差数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
由a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①，根据等差数列的前n项和公式可得，，联立可求d，a1，代入等差数列的通项公式可求
解答：
解：
等差数列{an}中，a2+a5=4，S7=21
根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①
根据等差数列的前n项和公式可得，
所以a1+a7=6②
②﹣①可得d=2，a1=﹣3
所以a7=9
故选D
点评：
本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题．
16．已知数列{an}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（ ）
A．
30
B．
35
C．
36
D．
24
考点：
等差数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
利用等差中项的性质求得a3的值，进而利用a1+a6=a3+a4求得a1+a6的值，代入等差数列的求和公式中求得答案．
解答：
解：
a1+a3+a5=3a3=15，
∴a3=5
∴a1+a6=a3+a4=12
∴s6=×6=36
故选C
点评：
本题主要考查了等差数列的性质．特别是等差中项的性质．
17．（2012•营口）等差数列{an}的公差d＜0，且，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是（ ）
A．
5
B．
6
C．
5或6
D．
6或7
考点：
等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：
计算题．
分析：
由，知a1+a11=0．由此能求出数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n．
解答：
解：
由，
知a1+a11=0．
∴a6=0，
故选C．
点评：
本题主要考查等差数列的性质，求和公式．要求学生能够运用性质简化计算．
18．（2012•辽宁）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（ ）
A．
58
B．
88
C．
143
D．
176
考点：
等差数列的性质；等差数列的前n项和．
专题：
计算题．
分析：
根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．
解答：
解：
∵在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，
故选B．
点评：
本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．
19．已知数列{an}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（ ）
A．
﹣1
B．
0
C．
1
D．
2
考点：
等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
专题：
计算题．
分析：
由等差数列得性质可得：
5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4，再由等差中项可知：
a4=2a5﹣a6=0
解答：
解：
由等差数列得性质可得：
a1+a9=a3+a7=2a5，又a1+a3+a5+a7+a9=10，
故5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4．
再由等差中项可知：
a4=2a5﹣a6=0
故选B
点评：
本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．
20．（理）已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣8n，第k项满足4＜ak＜7，则k=（ ）
A．
6
B．
7
C．
8
D．
9
考点：
等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
专题：
计算题．
分析：
先利用公式an=求出an，再由第k项满足4＜ak＜7，建立不等式，求出k的值．
解答：
解：
an=
=
∵n=1时适合an=2n﹣9，∴an=2n﹣9．
∵4＜ak＜7，∴4＜2k﹣9＜7，
∴＜k＜8，又∵k∈N+，∴k=7，
故选B．
点评：
本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式an=的合理运用，属于基础题．
21．数列an的前n项和为Sn，若Sn=2n2﹣17n，则当Sn取得最小值时n的值为（ ）
A．
4或5
B．
5或6
C．
4
D．
5
考点：
等差数列的前n项和．
专题：
计算题．
分析：
把数列的前n项的和Sn看作是关于n的二次函数，把关系式配方后，又根据n为正整数，即可得到Sn取得最小值时n的值．
解答：
解：
因为Sn=2n2﹣17n=2﹣，
又n为正整数，
所以当n=4时，Sn取得最小值．
故选C
点评：
此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题．
22．等差数列{an}中，an=2n﹣4
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