等差数列的概念及性质.docx
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等差数列的概念及性质
等差数列的概念及性质
一．选择题（共
12小题）
1．等差数列{an}中，a2＝7，a6＝23，则a4＝（
）
A．11
B．13
C．15
D．17
2．在等差数列{an}中，a4＝6，a3+a5＝a10，则公差d＝（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
3．等差数列{an}的前n项和为
Sn，且a8﹣a5＝9，S8﹣S5＝66，则a33＝（
）
A．82
B．97
C．100
D．115
4．在等差数列{an}中，已知a2+a5+a12+a15＝36，则S16＝（
）
A．288
B．144
C．572
D．72
5．已知{an}为递增的等差数列，
a4+a7＝2，a5?
a6＝﹣8，则公差d＝（
）
A．6
B．﹣6
C．﹣2
D．4
n
1
与a11的等差中项是15，a1
2
3＝9，则a9＝（
）
6．在等差数列{a}中，已知
a
+a+a
A．24
B．18
C．12
D．6
7．已知等差数列
n
n，且a1
812＝12，则S13＝（
）
{a}的前n项和为S
+a+a
A．104
B．78
C．52
D．39
8．等差数列{an}的前n项和为
Sn，若a1＝3，S5＝35，则数列{an}的公差为（
）
A．﹣2
B．2
C．4
D．7
9．在等差数列{an}中，若a3+a5+2a10＝4，则S13＝（
）
A．13
B．14
C．15
D．16
10．在等差数列{an}中，若
2a8＝6+a11，则a4+a6＝（
）
A．6
B．9
C．12
D．18
11．等差数列{an}中，a2与a4是方程x2﹣4x+3＝0的两根，则
a1+a2+a3+a4+a5＝（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
12．等差数列{an}满足4a3+a11﹣3a5＝10，则a4＝（
）
A．﹣5
B．0
C．5
D．10
二．填空题（共
5小题）
13．数列{an}中，若an+1＝an+3，a2+a8＝26，则a12＝
．
14．在等差数列{an}中，a1+3a8+a15＝120，则3a9﹣a11的值为
．
第1页（共11页）
15．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则
＝．
16．等差数列{an}中，前n项和为Sn，a1＜0，S17＜0，S18＞0，则当n＝时，Sn取
得最小值．
17．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若，则＝
三．解答题（共5小题）
18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝7，a5+a7＝26．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N+），求证：
数列{bn}为等差数列．
19．已知等差数列{an}满足a1+a2＝10，a5﹣a3＝4．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列
{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：
b6是数列{an}中的第几项？
20．在等差数列
n
n为其前n项的和，已知
a13＝22，S5＝45．
{a}中，S
+a
（1）求an，Sn；
（2）设数列{Sn}中最大项为Sk，求k及Sk．
21．观察如图数表，问：
（1）此表第n行的第一个数与最后一个数分别是多少？
（2）此表第n行的各个数之和是多少？
（3）2012是第几行的第几个数？
22．（理）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且角B，A，C成等差数列．
（1）若a2﹣c2＝b2﹣mbc，求实数m的值；
（2）若a＝，求△ABC面积的最大值．
第2页（共11页）
等差数列的概念及性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共
12小题）
1．等差数列{an}中，a2＝7，a6＝23，则a4＝（
）
A．11
B．13
C．15
D．17
【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．
【解答】解：
∵等差数列{an}中，a2＝7，a6＝23，
∴，解得a1＝3，d＝4．
∴a4＝a1+3d＝3+12＝15．
故选：
C．
【点评】本题考查等差数列的第4项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．在等差数列{an}中，a4＝6，a3+a5＝a10，则公差d＝（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【分析】根据等差数列的性质和通项公式即可求出
【解答】解：
∵a4＝6，a3+a5＝a10，
∴2a4＝a4+6d，
∴d＝a4＝1，
故选：
C．
【点评】本题考查了等差数列的性质和通项公式，属于基础题
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8﹣a5＝9，S8﹣S5＝66，则a33＝（
）
A．82
B．97
C．100
D．115
【分析】先求出公差d，再根据求和公式求出
a1＝4，即可求出a33．
【解答】解：
∵等差数列{an
n，且a8﹣a5＝9，
}的前n项和为
S
∴3d＝9，
∴d＝3，
∵S8﹣S5＝66，
第3页（共11页）
∴8a1+×3﹣5a1﹣×3＝66，
∴a1＝4，
∴a33＝a1+32d＝4+32×3＝100，
故选：
C．
【点评】本题考查等差数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
4．在等差数列
n
25
1215＝36，则S16＝（
）
{a}中，已知
a+a+a
+a
A．288
B．144
C．572
D．72
【分析】根据等差数列的性质和求和公式计算即可．
【解答】解：
a2+a5+a12+a15＝2（a2+a15）＝36，
∴a1+a16＝a2+a15＝18，
∴S16＝＝8×18＝144，
故选：
B．
【点评】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题
5．已知{an}为递增的等差数列，a4+a7＝2，a5?
a6＝﹣8，则公差d＝（
）
A．6
B．﹣6
C．﹣2
D．4
【分析】a5，a6
是方程x2﹣2x﹣8＝0的两个根，且a5＜a6，求解方程得答案．
【解答】解：
∵{an}为递增的等差数列，且
a4+a7＝2，a5?
a6＝﹣8，
∴a5+a6＝2，
∴a5，a6是方程x2﹣2x﹣8＝0的两个根，且a5＜a6，
∴a5＝﹣2，a6＝4，
∴d＝a6﹣a5＝6，
故选：
A．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查方程的解法，是基础的计算题．
6．在等差数列
n
1与a11的等差中项是15，a1
23＝9，则a9＝（
）
{a}中，已知
a
+a+a
A．24
B．18
C．12
D．6
【分析】利用等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出
a9的值．
【解答】解：
∵在等差数列
{an}中，a1
与a11的等差中项是
15，
∴
＝a1+5d＝15，①
∵a1+a2+a3＝9，
第4页（共11页）
∴a1+d＝3，②
联立①②，得a1＝0，d＝3，
∴a9＝a1+8d＝0+24＝24．
故选：
A．
【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a8+a12＝12，则S13＝（
）
A．104
B．78
C．52
D．39
【分析】数列{an
18
12可以用首项和公差表示，进而得到
a7，求出
}为等差数列，故
a+a+a
13．
S
【解答】解：
因为已知等差数列{an
n，且a1
812＝3a1
7＝12，
}的前n项和为S
+a+a
+18d＝3a
故a7＝4，所以S13＝
＝13a7＝13×4＝52．
故选：
C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，等差中项，前
n项和公式，属于基础题．
n
n，若a1＝3，S5＝35，则数列{an
}的公差为（
）
8．等差数列{a}的前n
项和为S
A．﹣2
B．2
C．4
D．7
【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．
【解答】解：
∵a1＝3，S5＝35，∴5×3+
＝35，解得d＝2．
故选：
B．
【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．在等差数列{an}中，若a3+a5+2a10＝4，则S13＝（
）
A．13
B．14
C．15
D．16
【分析】由a3+a5+2a10＝4，可得4a7＝4，解得a7，利用S13＝13a7即可得出．
【解答】解：
∵a3+a5+2a10＝4，
∴4a7＝4，解得a7＝1，
则S13＝13a7＝13．
故选：
A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
第5页（共11页）
10．在等差数列{an}中，若2a8＝6+a11，则a4+a6＝（
）
A．6
B．9
C．12
D．18
【分析】由等差数列{an}中，2a8＝6+a11，可得a5＝2a8﹣a11，利用a4+a6＝2a5，即可得出．
【解答】解：
由等差数列{an}中，2a8＝6+a11，∴a5＝2a8﹣a11＝6，
则a4+a6＝2a5＝12．
故选：
C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．等差数列{an}中，a2与a4是方程x2﹣4x+3＝0的两根，则
a1+a2+a3+a4+a5＝（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质即可得出．
【解答】解：
∵a2与a4是方程x2﹣4x+3＝0的两根，∴a2+a4＝4＝2a3，解得a3＝2，
则a1+a2+a3+a4+a5＝5a3＝10．
故选：
C．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．等差数列{an}满足4a3+a11﹣3a5＝10，则a4＝（
）
A．﹣5
B．0
C．5
D．10
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：
设等差数列{an}的公差为d，∵4a3+a11﹣3a5＝10，
∴4（a1+2d）+（a1+10d）﹣3（a1+4d）＝10，
化为：
a1+3d＝5．则a4＝5．
故选：
C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二．填空题（共5小题）
13．数列{an}中，若an+1＝an+3，a2+a8＝26，则a12＝34．
【分析】先判断数列的等差数列，再求出首项，即可求出答案．
【解答】解：
∵an+1＝an+3，
第6页（共11页）
∴数列{an}为等差数列，其公差d＝3，
∵a2+a8＝26，
∴2a1+8d＝26，
∴a1＝1，
∴a12＝1+11×3＝34，
故答案为：
34
【点评】本题考查饿了等差数列的定义和通项公式，属于基础题．
14．在等差数列{an}中，a1+3a8+a15＝120，则3a9﹣a11的值为
48．
【分析】{an
18
15＝120?
5a1
8＝24，然后将3a9
}为等差数列，所以
a+3a+a
+35d＝120?
a
﹣a11也表示为用a8表示即可．
【解答】解：
因为数列{an}为等差数列，所以a1+3a8+a15＝120可化为5a1+35d＝120可
化为a8＝24，又因为3a9﹣a11＝2a1+14d＝2a8＝48，
故填：
48．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
15．已知等差数列
nn
n，Tn，若
＝
，则
{a}，{b}的前n项和分别为
S
＝．
【分析】由等差数列的性质得＝＝＝，由此能求出结果．
【解答】解：
∵等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，＝，
∴＝＝＝＝＝．
故答案为：
．
【点评】本题考查等差数列的比值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16．等差数列{an}中，前n项和为Sn，a1＜0，S17＜0，S18＞0，则当n＝9时，Sn取得
最小值．
【分析】推导出a8+a9＜0，a9＞0，a8＜0，由此能求出当n＝8时，Sn取得最小值．
第7页（共11页）
【解答】解：
∵等差数列{an}中，前n项和为Sn，a1＜0，S17＜0，S18＞0，
∴a9＜0，a9+a10＞0，
∴a9＜0，a10＞0，
∵a1＜0，
∴当n＝9时，Sn取得最小值．故答案为：
9．
【点评】本题考查等差数列的前n项和最小时n的值的求法，考查等差数列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若
，则
＝
【分析】由题意可设Sn＝kn（n+1），Tn＝kn（2n﹣1），（k≠0）．由此求得
a8，b9，则答
案可求．
【解答】解，依题意，设Sn＝kn（n+1），Tn＝kn（2n﹣1），（k≠0）．
则a8＝S8﹣S7＝72k﹣56k＝16k，b9＝T9﹣T8＝33k，
所以＝，
故填：
．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差数列前n项和的应用，是中档题．
三．解答题（共5小题）
18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝7，a5+a7＝26．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N+），求证：
数列{bn}为等差数列．
【分析】（Ⅰ）设等差数列的首项为a1，公差为d，利用等差数列通项公式列出方程组，
求出a1＝3，d＝2，由此能求出an，Sn．
（Ⅱ）由＝，能证明数列{bn}为等差数列．
【解答】解：
（Ⅰ）设等差数列的首项为a1，公差为d，
∵a3＝7，a3+a2＝26．
∴由题意得，
第8页（共11页）
解得a1＝3，d＝2，
∴an＝a1+（n﹣1）d＝3+2（n﹣1）＝2n+1．
＝＝n（n+2）．
证明：
（Ⅱ）∵＝，
bn+1﹣bn＝n+3﹣（n+2）＝1，
∴数列{bn}为等差数列．
【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列的证明，
考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
19．已知等差数列{an}满足a1+a2＝10，a5﹣a3＝4．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：
b6是数列{an}中的第几项？
【分析】（Ⅰ）设{an}公差为d，由已知列式求得首项与公差，则an可求；
（Ⅱ）由b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，得公比q＝2，进一步求得b6，代入等差数列的通项公式求得n值得答案．
【解答】解：
（Ⅰ）设{an}公差为d，由a5﹣a3＝4＝2d?
d＝2，
由a1+a2＝10＝2a1+d?
a1＝4，
∴an＝2n+2；
（Ⅱ）由b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，得公比q＝2，
∴．
令an＝2n+2＝128，得n＝63．
即b6为{an}中的第63项．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础的计算题．
20．在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，已知a1+a3＝22，S5＝45．
（1）求an，Sn；
（2）设数列{Sn}中最大项为Sk，求k及Sk．
【分析】
（1）利用已知条件列出方程组，求出数列的首项与公差，然后求解an，Sn；
（2）利用变号的项，求解最值即可．
【解答】（10分）解：
（1）由已知得，所以，
第9页（共11页）
所以an＝a1+（n﹣1）d＝﹣2n+15；
；
（2）由an≥0，即﹣2n+15≥0，可得n≤7，所以S7最大，k＝7，S7＝
＝49．
【点评】本题考查等差数列的性质，数列求和以及通项公式的应用，考查计算能力．
21．观察如图数表，问：
（1）此表第n行的第一个数与最后一个数分别是多少？
（2）此表第n行的各个数之和是多少？
（3）2012是第几行的第几个数？
【分析】
（1）写出此表n行的第1个数，且第n行共有
求出第n行的最后一个数；
（2）由等差数列的求和公式求出第n行的各个数之和；
（3）设2012在第n行，列不等式求出n的值，再计算
2n﹣1个数，且成等差数列，由此
2012在第该行的第几个数．
n﹣1
，
【解答】解：
（1）此表n行的第1个数为2
n﹣1
个数，依次构成公差为
1的等差数列；（
4分）
第n行共有2
由等差数列的通项公式，此表第
n行的最后一个数是
n﹣1
n﹣1
﹣
1）×1＝
n
﹣1；
2
+（2
2
（8分）
（2）由等差数列的求和公式，此表第
n行的各个数之和为
＝22n﹣2+22n﹣3﹣2n﹣2，
或2
n﹣1
n﹣1
2n﹣22n﹣3n﹣2
；（
8分）
×2
+
×1＝2+2
﹣2
（3）设2012在此数表的第n行．则2n﹣1≤2012≤2n﹣1，
可得n＝11，
故2012在此数表的第
11
行；（10分）
设2012是此数表的第
11
行的第m个数，而第11行的第1个数为210，
第10页（共11页）
因此，2012是第11行的第989个数．（
12分）
【点评】本题考查了等差数列的应用问题，是中档题．
22．（理）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且角B，A，C成等差数列．
（1）若a2﹣c2＝b2﹣mbc，求实数m的值；
（2）若a＝，求△ABC面积的最大值．
【分析】
（1）由角B，A，C成等差数列以及三角形内角和公式知
A＝60°，再由余弦定
理和条件可得
cosA＝
＝
，由此求得m的值．
（2）由cosA＝
＝
可得bc≤a2，故S△
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