必修三31随机事件的概率教案.docx

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必修三31随机事件的概率教案

第三章概率

3.1随机事件的概率

教案A

第1、2课时

教学内容

§3.1.1随机事件的概率

§3.1.2概率的意义

教学目标

1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念.

2.正确理解事件A出现的频率fn（A）＝nA/n的意义.

3.理解事件A发生的频率

与事件A发生的概率P（A）的区别与联系.

教学重点

事件的分类；概率的定义以及与频率的区别与联系.

教学方法

1．采用发现法教学，通过在抛硬币的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高.

2．通过学生动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系．

教学过程

一、创设情境

日常生活中，有些问题是很难给予准确无误回答的．例如，你明天什么时间起床？

7：

20在某公共汽车站候车有多少人？

你购买本期福利彩票是否能中奖？

等等.

二、新课

1.基本概念

学生阅读教材中的思考，并完成相应的练习，教师总结与事件有关的概念：

1.必然事件：

在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；

2.不可能事件：

在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；

3.确定事件：

必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；

4.随机事件：

在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；

例1判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？

（1）“抛一石块，下落”；（必然事件）

（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；（不可能事件）

（3）“如果a＞b，那么a－b＞0”；（必然事件）

（4）“掷一枚硬币，出现正面”；（随机事件）

（5）“你购买本期福利彩票中奖”；（随机事件）

（6）“在常温下，焊锡熔化”．（不可能事件）

2.掷币实验

试验要求：

每位同学做10次掷硬币试验，必须认真做试验（保证随机性），否则结果的误差就不仅仅是随机误差.

　第一步，每位同学各实验10次，

学号

正面朝上的次数

正面朝上的比例

　第二步，统计每小组的实验结果（假设按学号第10人为一组）

组次

正面朝上的总次数

正面朝上的比例

　第三步，统计全班的实验结果

班级

正面朝上的总次数

正面朝上的比例

第四步，把第三步的结果画成条形图（横轴是正面或反面，纵轴是频数或正面朝上的比例，即频率），这个条形图有什么特点？

第五步，统计全班每个同学试验中正面朝上的次数，填入下面表格，

正面朝上的次数

０

１

２

３

４

５

６

７

８

９

10

频数

频率

并画出条形图（横轴是正面朝上的次数，纵轴是频数或频率），这个条形图有什么特点？

（中间高，两边低，是比较对称的图形，让学生体会试验结果的随机性与规律性之间的关系.）

3.频率的概念

在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数

为事件A出现的频数；称事件A出现的比例

为事件A出现的频率.

4.频率的取值范围

（１）随机事件的频率的取值范围：

；

（２）必然事件出现的频率：

　１　；

（３）不可能事件出现的频率：

０　；

（４）事件发生的频率范围：

.

5.计算机模拟掷币试验与历史上一些掷币试验介绍

通过实验和介绍作进一步说明：

随机事件的频率nA/n，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小，会逐渐稳定在［0，1］中的某个常数上.因此我们可以用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小.

6.概率的含义

（1）对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上，把这个常数，记作P（A），称为事件A的概率.

（2）频率与概率的区别与联系：

随机事件的频率，指此事件发生的次数

与试验总次数n的比值nA/n，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.在大量重复试验前提下频率可近似地作为此事件的概率.

例2某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

射击次数n

10

20

50

100

200

击中靶心次数m

8

19

44

92

178

击中靶心的频率m/n

（1）填写表中击中靶心的频率；

（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？

解：

（1）略；

（2）因频率在常数0.89摆动，所以射手击一次，击中靶心的概率约是0.89.

小结：

概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之.

练习：

一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：

时间范围

1年内

2年内

3年内

4年内

新生婴儿数

5544

9607

13520

17190

男婴数

2883

4970

6994

8892

男婴出生的频率

（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；

（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？

答案：

（1）表中依次填入的数据为：

0.520，0.517，0.517，0.517.

（2）由表中的已知数据及公式fn（A）＝

即可求出相应的频率，而各个频率均稳定在常数0.518上，所以这一地区男婴出生的概率约是0.518．

例3某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为多大？

中10环的概率约为多大？

分析：

中靶的频数为9，试验次数为10，所以靶的频率为

＝0.9，所以中靶的概率约为0.9．

解：

此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2．

例4如果某种彩票中奖的概率为

，那么买1000张彩票一定能中奖吗？

请用概率的意义解释.

分析：

买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有一张中奖.

解：

不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖.

例5在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性.

分析：

这个规则是公平的，因为每个运动员先发球的概率为0.5，即每个运动员取得先发球权的概率是0.5.

解：

这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5.

小结：

事实上，能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的.

三、课堂小结

概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索.

四、自我评价与课堂练习：

1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（）．

A．必然事件B．随机事件

C．不可能事件D．无法确定

2．下列说法正确的是（）．

A．任一事件的概率总在（0，1）内B．不可能事件的概率不一定为0

C．必然事件的概率一定为1D．以上均不对

3．下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题.

每批粒数

2

5

10

70

130

700

1500

2000

3000

发芽的粒数

2

4

9

60

116

282

639

1339

2715

发芽的频率

（1）完成上面表格；

（2）该油菜籽发芽的概率约是多少？

4．生活中，我们经常听到这样的议论：

“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了.”学了概率后，你能给出解释吗？

评价参考标准：

1．B．

提示：

正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，即该事件为随机事件.

2．C．

提示：

任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.

3．解：

（1）填入表中的数据依次为1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905

（2）该油菜籽发芽的概率约为0.897.

4．解：

天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率，我们知道：

在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的.

五、作业

P123习题3.1A组2、3、4、5．

第3课时

教学内容

§3.1.3概率的基本性质

教学目标

一、知识与技能

1.正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念.

2.概率的几个基本性质：

1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P（A）≤1；

2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：

P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；

3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝1，于是有P（A）＝1－P（B）

3.正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.

二、过程与方法

通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想.

三、情感、态度与价值观

通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣.

教学重点、难点

概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算.

学法与教学用具

1.讨论法：

师生共同讨论，从而使加深学生对概率基本性质的理解和认识．

2.教学用具：

幻灯片．

教学设想

一、创设情境

1.集合有相等、包含关系，如{1，3}＝{3，1}，{2，4}{{2，3，4，5}等；

2.在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：

C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现1点或2点}，C4＝{出现的点数为偶数}……

师生共同讨论：

观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？

二、新课教学

1.基本概念

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（见教材P115）；

（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B＝φ，那么称事件A与事件B互斥；

（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；

（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：

P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝1，于是有P（A）＝1－P（B）．

2.例题分析

例1一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？

哪些是对立事件？

事件A：

命中环数大于7环；事件B：

命中环数为10环；

事件C：

命中环数小于6环；事件D：

命中环数为6、7、8、9、10环.

分析：

要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生.

解：

A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件.

例2抛掷一骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P（A）＝

，P（B）＝

，求“出现奇数点或偶数点”的概率．

分析：

抛掷骰子，事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公式求解．

解：

记“出现奇数点或偶数点”为事件C，则C＝A∪B，因为A、B是互斥事件，所以P（C）＝P（A）＋P（B）＝

＋

＝1．

答：

出现奇数点或偶数点的概率为1．

例3如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是

，取到方块（事件B）的概率是

，问：

（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？

（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？

分析：

事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P（D）＝1－P（C）．

解：

（1）P（C）＝P（A）＋P（B）＝

．

（2）P（D）＝1－P（C）＝

．

例4袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为

，得到黑球或黄球的概率是

，得到黄球或绿球的概率也是

，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？

分析：

利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．

解：

从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、C、D，则有P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝

；P（C∪D）＝P（C）＋P（D）＝

；P（B∪C∪D）＝1－P（A）＝1－

＝

，解得P（B）＝

，P（C）＝

，P（D）＝

．

答：

得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是

、

、

．

例5某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.

（1）A与C；

（2）B与E；

（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E.

分析：

利用互斥事件、对立事件的定义.

解：

（1）由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.

（2）事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件.由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件.

（3）事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥.

（4）事件B“至少订一种报”中有这些可能：

“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有这些可能：

“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件.

（5）由（4）的分析，事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能，事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥.

例6向假设的三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率.

分析：

军火库要发生爆炸，只要炸弹炸中一个军火库即可，因为只投掷了一个炸弹，故炸中第一、第二、第三军火库的事件是彼此互斥的.

解：

设以A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，则P（A）＝0.025，P（B）＝P（C）＝0.1.

又设D表示军火库爆炸这个事件，则有D＝A＋B＋C，其中A、B、C是互斥事件，因为只投掷了一个炸弹，不会同时炸中两个以上军火库，所以P（D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.

例7某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.

分析：

射手射中9环、8环、不够8环彼此是互斥的，因此可用概率加法分式求解.

解：

记这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件A，命中10环、9环、8环、不够8环分别记为A1、A2、A3、A4.

因为A3、A3、A4彼此互斥，

所以P（A2∪A3∪A4）＝P（A2）＋P（A3）＋P（A4）＝0.28＋0.19＋0.29＝0.76.

又因为A1与A2∪A3∪A4为对立事件，

所以P（A1）＝1－P（A2＋A3＋A4）＝1－0.76＝0.24.

A1与A2互斥，且A＝A1＋A2，

所以P（A）＝P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）＝0.24＋0.28＝0.52.

例8某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.

（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；

（2）求他不乘轮船去的概率；

（3）如果他去的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？

分析：

分清事件之间是互斥关系还是对立关系，然后套用相关公式.

解：

（1）记“他乘火车去”为事件A1，“他乘轮船去”为事件A2，“他乘汽车去”为事件A3，“他乘飞机去”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥.故P（A1＋A4）＝P（A1）＋P（A4）＝0.3＋0.4＝0.7.

答：

他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.

（2）设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P（A2）＝1－0.2＝0.8.

（3）由于0.3＋0.2＝0.5，0.1＋0.4＝0.5，1－（0.3＋0.2）＝0.5，1－（0.4＋0.1）＝0.5，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.

三、课堂小结

1.把事件与集合对应起来，掌握事件间的关系，总结如下表：

符号

Venn图

概率论

集合论

必然事件

全集

不可能事件

空集

A

事件

子集

事件B包含事件A

（事件A发生，则B一定发生）

集合B包含集合A

A＝B

事件A与事件B相等

集合A与集合B相等

A∪B

（A＋B）

事件A与事件B的并事件

（或者事件A发生，或者事件B发生）

集合A与集合B的并

A∩B

（AB）

事件A与事件B的交事件

（事件A发生，且事件B发生）

集合A与集合B的交

A∩B＝

事件A与事件B互斥

（事件A和事件B不能同时发生）

集合A与集合B不相交

A∩B＝

A∪B＝

事件A与事件B对立

（事件A与事件B有且仅有一个发生）

集合A与集合B不相交

2.概率的基本性质

（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P（A）≤1；

（2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：

P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；

（3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝1，于是有P（A）＝1－P（B）．

四、自我评价与课堂练习

1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.

（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；

（2）至少有1件次品和全是次品；

（3）至少有1件正品和至少有1件次品；

（4）至少有1件次品和全是正品；

2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）＝

，P（B）＝

，求出现奇数点或2点的概率之和.

3．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中，

（1）射中10环或9环的概率；

（2）少于7环的概率.

4．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是

，从中取出2粒都是白子的概率是

，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？

评价标准：

1．解：

依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：

（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的并不是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断：

（2）（3）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件.（4）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件.

2．解：

“出现奇数点”的概率是事件A，“出现2点”的概率是事件B，“出现奇数点或2点”的概率之和为P（C）＝P（A）＋P（B）＝

＋

＝

．

3．解：

（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为0.21＋0.23＝0.44.

（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97＝0.03.

4．解：

从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和，即为

＋

＝

．

五、规律总结

1．学习时要搞清几个相联系的概念的意义，比如互斥事件、对立事件等，只有弄清事件之间的关系类型，才能做到准确利用公式．

2．要记准一些符号及其意义，比如：

事件A∪B，表示事件A与事件B中至少有一个发生，而我们往往会想当然地认为是事件A与B同时发生，事实上当A与B互斥时，它们不可能同时发生．

3．要注重典型例题的学习，通过例题的学习加深对概念的理解，逐步掌握一些具体的解题方法．

教案B

第1课时

教学内容

§3.1.1随机事件的概率

教学目标

一、知识与技能

1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念.

2.正确理解事件A出现的频率的意义.

3.正确理解概率的概念，明确事件A发生的频率fn（A）与事件A发生的概率P（A）的区别与联系.

二、过程与方法

通过不断地提出问题和解决问题，培养学生猜测，验证等探究能力.

三、情感、态度与价值观

在探究过程中，鼓励学生大胆猜测，大胆尝试，培养学生勇于创新，敢于实践等良好的个性品质.

教学重点、难点

教学重点：

正确理解概率的概念．

教学难点：

认识频率与概率的区别和联系．

教学关键：

认识频率与概率的区别和联系．

教法与学法导航

教学方法：

采用实验发现式的教学方法，引导学生对身边的事件加以注意、分析和指导学生做简单易行的试验，让学生无意识地发现随机事件发生的规律．

学习方法：

通过做实验总结和归纳随机事件发生的规律．

教学准备

教师准备：

硬币，幻灯片，计算机及多媒体教学设备．

学生准备：

硬币．

教学过程

一、创设情境导入新课

日常生活中，有些问题是很难给予准确无误的回答的.例如，你明天什么时间起床？

7：

20在某公共汽车站候车的人有多少？

你购买本期福利彩票是否能中奖？

等等.显然，这些问题的结果都是不确定的、偶然的，很难给予准确的回答.那么在数学中如何定义这些事情？

二、主题探究合作交流

观察下列事件发生与否，各有什么特点（教师用课件演示情境）

（1）地球不停地转动；必然发生

（2）木柴燃烧，产生能量；必然发生

（3）在常温下，石头风化；不可能发生

（4）某人射击一次，中靶；可能发生也可能不发生

（5）掷一枚硬币，出现正面；可能发生也可能不发生

（6）在标准大气压下且温度低于0℃时，雪融化.不可能发生

定义：

在条件S下可能发生也可能不