版高中数学人教B版必修一学案第三单元 312 指数函数一 Word版含答案.docx

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版高中数学人教B版必修一学案第三单元312指数函数一Word版含答案

3．1.2　指数函数

（一）

学习目标

　1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求指数型函数的定义域、值域．

知识点一　指数函数

思考　细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？

这个函数式与y＝x2有什么不同？

梳理　一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．

特别提醒：

（1）规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：

①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1（x∈R），无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.

（2）要注意指数函数的解析式：

①底数是大于0且不等于1的常数．②指数函数的自变量必须位于指数的位置上．③ax的系数必须为1.④指数函数等号右边不会是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．

知识点二　指数函数的图象和性质

思考　函数的性质包括哪些？

如何探索指数函数的性质？

梳理　指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）的图象和性质

a>1

0

图象

定义域

R

值域

（0，＋∞）

性质

过定点

过点______，即x＝____时，y＝____

函数值的变化

当x>0时，______；

当x<0时，______

当x>0时，______；

当x<0时，______

单调性

是R上的________

是R上的________

类型一　求指数函数的解析式

例1　已知指数函数f（x）的图象过点（3，π），求函数f（x）的解析式．

反思与感悟　根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数．

要求指数函数f（x）＝ax（a>0，且a≠1）的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．

跟踪训练1　已知指数函数y＝（2b－3）ax经过点（1,2），求a，b的值．

类型二　指数型函数的定义域、值域问题

例2　求下列函数的定义域、值域．

（1）y＝

；

（2）y＝4x－2x＋1.

反思与感悟　解此类题的要点是设ax＝t，利用指数函数的性质求出t的范围．从而把问题转化为y＝f（t）的问题．

跟踪训练2　求下列函数的定义域与值域．

（1）y＝

；

（2）y＝

（a>0，且a≠1）．

例3　求函数y＝

的定义域、值域．

反思与感悟　y＝af（x）的定义域即f（x）的定义域，求y＝af（x）的值域可先求f（x）的值域，再利用y＝at的单调性结合t＝f（x）的范围求y＝at的范围．

跟踪训练3　求下列函数的定义域、值域：

（1）y＝0.3

；

（2）y＝3

.

类型三　指数函数图象的应用

例4　在如图所示的图象中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与函数y＝

x的图象可能是（　　）

反思与感悟　函数y＝ax的图象主要取决于01.但前提是a>0且a≠1.

跟踪训练4　已知函数f（x）＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是（　　）

A．（－1,5）B．（－1,4）

C．（0,4）D．（4,0）

例5　若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|图象有两个公共点，求实数a的取值范围．

反思与感悟　指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图象的“原料”作用．

跟踪训练5　函数y＝a|x|（a>1）的图象是（　　）

1．下列各函数中，是指数函数的是（　　）

A．y＝（－3）xB．y＝－3x

C．y＝3x－1D．y＝（

）x

2．若函数y＝（2a－1）x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（　　）

A．a>0，且a≠1B．a≥0，且a≠1

C．a>

，且a≠1D．a≥

3．函数y＝3

的值域是（　　）

A．（0，＋∞）B．（－∞，0]

C．（0,1]D．[－1,0）

4.函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是（　　）

A．a>1，b<0

B．a>1，b>0

C．00

D．0

5．函数f（x）＝

＋

的定义域为（　　）

A．（－3,0]B．（－3,1]

C．（－∞，－3）∪（－3,0]D．（－∞，－3）∪（－3,1]

1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax（a＞0，且a≠1）这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.

2．指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．

3．求函数y＝af（x）（a＞0，且a≠1）的值域的方法如下：

（1）换元，令t＝f（x），并求出函数t＝f（x）的定义域；

（2）求t＝f（x）的值域t∈M；

（3）利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来．

梳理　

函数y＝ax（a>0，且a≠1）　R

知识点二

思考　函数性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．

梳理　

（0,1）　0　1　y>1　01　增函数　减函数

题型探究

例1　解　设f（x）＝ax，将点（3，π）代入，得到f（3）＝π，

即a3＝π，解得a＝

，于是f（x）＝

.

跟踪训练1　a＝b＝2.

例2　解　

（1）函数的定义域为R（∵对一切x∈R,3x≠－1）．

∵y＝

＝1－

，

又∵3x>0,1＋3x>1，

∴0<

<1，∴－1<－

<0，

∴0<1－

<1，∴值域为（0,1）．

（2）定义域为R，y＝（2x）2－2x＋1

＝（2x－

）2＋

，

∵2x>0，∴2x＝

，即x＝－1时，y取最小值

，同时y可以取一切大于

的实数，

∴值域为[

，＋∞）．

跟踪训练2　解　

（1）∵1－

x≥0，∴

x≤1，解得x≥0，

∴原函数的定义域为[0，＋∞）．

令t＝1－

x（x≥0），则0≤t<1，

∴0≤

<1，

∴原函数的值域为[0,1）．

（2）原函数的定义域为R.

由y＝

（a>0，且a≠1），

得ax＝－

.

∵ax>0，∴－

>0，∴－1

∴原函数的值域是（－1,1）．

例3　解　要使函数有意义，

则x应满足32x－1－

≥0，即32x－1≥3－2.

∵y＝3x在R上是增函数，

∴2x－1≥－2，解得x≥－

.

故所求函数的定义域为

.

当x∈

时，

32x－1∈

.

∴32x－1－

∈[0，＋∞）．

∴原函数的值域为[0，＋∞）．

跟踪训练3　解　

（1）由x－1≠0得x≠1，

所以函数定义域为{x|x≠1}．

由

≠0得y≠1，

所以函数值域为{y|y>0且y≠1}．

（2）由5x－1≥0得x≥

，

所以函数定义域为{x|x≥

}．

由

≥0得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}．

例4　A

跟踪训练4　A

例5　解　y＝|2x－1|＝

图象如下：

由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|图象有两个公共点，

需0<2a<1，即0

.

跟踪训练5　B

当堂训练

1．D　2.C　3.C　4.D　5.A