正弦定理和余弦定理(解三角形).doc

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高中数学

解三角形

1.内角和定理：

在中，；；，

2.面积公式:

①=aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；

②＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③＝2R2sinAsinBsinC.（R为外接圆半径）

④＝；⑤＝,；

⑥＝·,（r为△ABC内切圆的半径）

3.三角形中常见的不等式：

①（任意三角形）

②锐角三角形中，

4．正弦定理：

在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

形式一：

（解三角形的重要工具）

形式二：

（边角转化的重要工具）

4.余弦定理：

三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..

形式一：



（解三角形的重要工具）

形式二：

；；cosC=

考点1:

运用正、余弦定理求角或边

题型1.求三角形中的某些元素

例1.已知：

A.B.C是的内角，分别是其对边长，向量，，.

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若求的长.

【新题导练】

1.在△ABC中，a＝1，b＝，B＝60°，求c.

.

2．若在△ABC中，求△ABC外接圆的半径R.

题型2判断三角形形状

例2.在△ABC中，bcosA＝cosB，试判断三角形的形状.

【新题导练】

3.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）

A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形

4.在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是.（）

A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等边三角形

考点2:

三角形中的三角变换

题型:

利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值.

例3.设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：

（Ⅰ）的值；（Ⅱ）cotB+cotC的值.

【新题导练】

5．三角形的三内角所对边的长分别为，设向量，,若,求角B的大小；

6．在Rt△ABC中，∠C=90°,且∠A，∠B，∠C所对的边a,b,c满足a+b=cx，求实数x的取值范围.

考点3与三角形的面积相关的题

题型1:

已知条件求面积

例4:

在中，，．

1.求的值；2.设，求的面积．

题型2:

已知面积求线段长或角

例.在中，，．

⑴、求的值；⑵、设的面积，求的长．

【新题导练】

7.在三角形中，，求三角形的面积。

8.在中，，，，则等于

A、B、C、或D、或

考点4三角形多解问题。

已知两边和其中一对角,.求另一边的对角时要注意分类讨论

1:

在中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的（）

A、有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定

2.下列判断中不正确的结论的序号是.

①△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解②△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解

③△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解④△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解

在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为.