九年级数学：圆的切线的证明——拔高题Word格式文档下载.docx
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14.如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F．
EF是⊙O的切线；
（2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径．
15.如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于
点D，且∠D=∠BAC．
AD是半圆O的切线；
（2）若BC=2，CE=2，求AD的长．
16.如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP // BC，∠P=∠BAC．
PA为⊙O的切线；
（2）若OB=5，OP=253，求AC的长．
17.在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．且BD=BF．
AC与⊙O相切．
（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面积．
18.如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．
CD是⊙O的切线；
（2）若CB=2，CE=4，求AE的长．
19.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．
DC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长．
20.已知：
如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
AE与⊙O相切；
（2）当BC=4，cosC=13时，求⊙O的半径．
21.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．
（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．
答案
1.
（1）证明：
如图，
连接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD // AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）解：
∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ACD=180∘，
∵∠AED+∠BED=180∘，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴BDAB=BEBC，
∵OD // AB，AO=CO，
∴BD=CD=12BC=3，
又∵AE=7，
∴37+BE=BE6，
∴BE=2，
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．
2.
（1）解：
∵AB为直径，
∴∠ADB=90∘，即BD⊥AC．
在Rt△ADB中，∵AD=3，BD=4，
∴由勾股定理得AB=5．
∵∠ABC=90∘，BD⊥AC，
∴△ABD∽△ACB，
∴BDAD=BCAB，
即43=BC5，
∴BC=203；
（2）证明：
连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD；
又∵E是BC的中点，BD⊥AC，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD．
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90∘，
即∠ODE=90∘，
∴DE⊥OD．
∴ED与⊙O相切．
3.
（1）证明：
如图1，连接OD，
∴∠C=∠ABC，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD // AC，
∴∠ODG=∠DGC，
∵DG⊥AC，
∴∠DGC=90∘，
∴∠ODG=90∘，
∴OD⊥FG，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线FG是⊙O的切线．
（2）解：
如图2，
∵AB=AC=10，AB是⊙O的直径，
∴OA=OD=10÷
2=5，
由
（1），可得
OD⊥FG，OD // AC，
∴∠ODF=90∘，∠DOF=∠A，
在△ODF和△AGF中，
∠DOF=∠A∠F=∠F
∴△ODF∽△AGF，
∴ODAG=OFAF，
∵cosA=25，
∴cos∠DOF=25，
∴OF=ODcos∠DOF=525=252，
∴AF=AO+OF=5+252=352，
∴5AG=252352，
解得AG=7，
∴CG=AC−AG=10−7=3，
即CG的长是3．
4.
（1）证明：
连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘
∴AD⊥BC，又D是BC的中点，
∴AB=AC；
∵O、D分别是AB、BC的中点，
∴∠ODE=∠DEC=90∘，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）解：
∵AB=13，sinB=1213，
∴ADAB=1213，
∴AD=12，
∴由勾股定理得BD=5，
∴CD=5，
∵∠B=∠C，
∴DECD=1213，
∴DE=6013，
∴根据勾股定理得CE=2513．
5.解：
（1）DE与半圆O相切．
证明：
连接OD、OE．
∵O、E分别是BA、BC的中点，
∴OE // AC，
∴∠BOE=∠BAC，∠EOD=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠BAC．
∴∠BOE=∠EOD．
∵OD=OB，OE=OE，
∴△OBE≅△ODE．
∴∠ODE=∠OBE=90∘．
∴DE与半圆O相切．
（2）∵AC，AB的长是方程x2−10x+24=0的两个根，
∴解方程x2−10x+24=0得：
x1=4，x2=6．
∵AB<
AC，
∴AB=4，AC=6，
∴BC=AC2−AB2=62−42=36−16=25．
6.解：
（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴∠BAC=∠ADC=90∘，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
（2）∵BD=5，CD=4，
∴BC=9，
∵△ADC∽△BAC（已证），
∴ACBC=CDAC，即AC2=BC×
CD=36，
解得：
AC=6，
在Rt△ACD中，AD=AC2−CD2=25，
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA−CD=2，
在Rt△AFD中，AF=DF2+AD2=26．
7.
（1）证明：
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90∘．
∴∠PCB+∠OCB=90∘．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．
（2）证明：
∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC．
∴BC=12AB．（3）解：
连接MA，MB，
∵点M是AB的中点，
∴AM=BM，
∴∠ACM=∠BCM．
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM．
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴BMMC=MNBM．
∴BM2=MN⋅MC．
又∵AB是⊙O的直径，AM=BM，
∴∠AMB=90∘，AM=BM．
∵AB=4，
∴BM=22．
∴MN⋅MC=BM2=8．
8.
（1）证明：
∴∠OAD=∠ODA．
∵∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE．
∴DO // MN．
∵DE⊥MN，
∴∠ODE=∠DEM=90∘．
即OD⊥DE．
∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
∵∠AED=90∘，DE=6，AE=3，
∴AD=DE2+AE2=62+32=35．
连接CD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AED=90∘．
∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE．
∴ADAE=ACAD．
∴353=AC35．
则AC=15（cm）．
∴⊙O的半径是7.5cm．
9.
（1）证明：
∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），
∴∠BCA=∠BAD．
（2）解：
∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理）且∠BED=∠CBA=90∘，
∴△BED∽△CBA，
∴BDAC=DEAB，即1213=DE12，
DE=14413．
（3）证明：
连结OB，OD，
在△ABO和△DBO中，
AB=DBBO=BOOA=OD，
∴△ABO≅△DBO（SSS），
∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB // ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴BE是⊙O的切线．
10.
（1）证明：
∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，
∴∠CAB=∠BFD，
∴FD // AC（同位角相等，两直线平行），
∵∠AEO=90∘，
∴∠FDO=90∘，
∴FD是⊙O的一条切线；
∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，
∴AE=EC=4，AO=5，
∴EO=3，
∵AE // FD，
∴△AEO∽△FDO，
∴AEFD=EODO，
∴35=4FD，
FD=203．
11.
（1）证明：
连接OD，如图，
∵AB为半圆O的直径，D为AC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD // BC，
∵DE⊥BC���
∴DE⊥DO，
又∵点D在圆上，
∴DE为半圆O的切线；
∵AB为半圆O的直径，
∴∠AFB=90∘，
而DE⊥BC，
∴∠GEB=∠GFE=90∘，
∵∠BGE=∠EGF，
∴△BGE∽△EGF
∴GEGB=GFGE，
∴GE2=GF⋅GB=GF（GF+BF）
∵GE=1，BF=32，
∴GF=12，
在Rt△EGF中，EF=GE2−GF2=32．
12.
（1）证明：
∵AB是⊙O的切直径，
∴∠ADB=90∘，
又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC，
∴∠BAD=∠DBC，
∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90∘，
∴∠ABC=90∘，
∴BC是⊙O的切线；
∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BCCA=CDBC，即BC2=AC⋅CD=（AD+CD）⋅CD=10，
∴BC=10．
13.
（1）证明：
连接OA，
∵OA=OB，GA=GE
∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=90∘，
∴∠ABO+∠BEF=90∘，
又∵∠BEF=∠GEA，
∴∠GAE=∠BEF，
∴∠BAO+∠GAE=90∘，
即AG与⊙O相切．
（2）解：
∵BC为直径，
∴∠BAC=90∘，AC=6，AB=8，
∴BC=10，
∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，
∴△BEF∽△BCA，
∴BFBA=BEBC=EFAC
∴EF=1.8，BF=2.4，
∴0F=0B−BF=5−2.4=2.6，
∴OE=EF2+OF2=10．
14.
（1）证明：
连接OD交于AB于点G．
∵D是AB的中点，OD为半径，
∴AG=BG．
∵AO=OC，
∴OG是△ABC的中位线．
∴OG // BC，
即OD // CE．
又∵CE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线．
在Rt△CEF中，CE=6，EF=8，
∴CF=10．
设半径OC=OD=r，则OF=10−r，
∵OD // CE，
∴△FOD∽△FCE，
∴FOFC=ODCE，
∴10−r10=r6，
∴r=154，
即：
⊙O的半径为154．
15.
（1）证明：
∴∠BCA=90∘．
又∵BC // OD，
∴OE⊥AC．
∴∠D+∠DAE=90∘．
∵∠D=∠BAC，
∴∠BAC+∠DAE=90∘．
∴AD是半圆O的切线．
（2）解：
∵BC // OD，
∴△AOE∽△ABC，
∵BA=2AO，
∴AOBA=AEAC=12，又CE=2，
∴AC=2CE=22．
在Rt△ABC中，
AB=AC2+BC2=（22）2+22=23，
∵∠D=∠BAC，∠ACB=∠DAO=90∘，
∴△DOA∽△ABC．
∴ADAC=OABC即AD22=32．
∴AD=6．
16.
（1）证明：
∴∠ACB=90∘，
∴∠BAC+∠B=90∘．
又∵OP // BC，
∴∠AOP=∠B，
∴∠BAC+∠AOP=90∘．
∵∠P=∠BAC．
∴∠P+∠AOP=90∘，
∴由三角形内角和定理知∠PAO=90∘，即OA⊥AP．
又∵OA是的⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线；
由
（1）知，∠PAO=90∘．∵OB=5，
∴OA=OB=5．
又∵OP=253，
∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA=PO2−OA2=203，
由
（1）知，∠ACB=∠PAO=90∘．
∵∠BAC=∠P，
∴△ABC∽△POA，
∴ABPO=ACPA．
∴10253=AC203，
解得AC=8．即AC的长度为8．
17.证明：
（1）连接OE，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∵BD=BF，
∴∠ODE=∠F，
∴∠OED=∠F，
∴OE // BF，
∴∠AEO=∠ACB=90∘，
∴AC与⊙O相切；
由
（1）知∠AEO=∠ACB，又∠A=∠A，
∴OEBC=AOAB，
设⊙O的半径为r，则r6=12−r12，
r=4，
∴⊙O的面积π×
42=16π．
18.
（1）证明：
连接OE，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠DAE．
∵OE=OA，
∴∠BAE=∠OEA．
∴∠OEA=∠DAE．
∴OE // AD．
∵AD⊥CD，
∴OE⊥CD．
∴CD是⊙O的切线．
设r是⊙O的半径，
在Rt△CEO中，CO2=OE2+CE2，
即（2+r）2=r2+42，
解得r=3．
∵OE // AD，
∴△CEO∽△CDA，
∴COAC=OEAD=CECD，
即58=3AD=44+ED．
解得AD=245,ED=125．
∴AE=AD2+ED2=（245）2+（125）2=1255．
19.
（1）证明：
连接OC
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠OAC
∴∠DAC=∠OCA
∴OC // AD
∵AD⊥CD∴OC⊥CD
∴直线CD与⊙O相切于点C；
连接BC，则∠ACB=90∘．
∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90∘，
∴△ADC∽△ACB，
∴ADAC=ACAB，
∴AC2=AD⋅AB，
∵⊙O的半径为3，AD=4，
∴AB=6，
∴AC=26．
20.
（1）证明：
连接OM，则OM=OB
∴∠1=∠2
∵BM平分∠ABC
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴OM // BC
∴∠AMO=∠AEB
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90∘
∴∠AMO=90∘
∴OM⊥AE
∵点M在圆O上，
∴AE与⊙O相切；
∴BE=12BC，∠ABC=∠C
∵BC=4，cosC=13
∴BE=2，cos∠ABC=13
在△ABE中，∠AEB=90∘
∴AB=BEcos∠ABC=6
设⊙O的半径为r，则AO=6−r
∵OM // BC
∴△AOM∽△ABE
∴OMBE=AOAB
∴r2=6−r6
解得r=32
∴⊙O的半径为32．
21.
（1）证明：
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ODB=∠DBC（等量代换），
∴OD // BC（内错角相等，两直线平行）；
又∵∠C=90∘（已知），
∴∠ADO=90∘（两直线平行，同位角相等），
∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；
由
（1）知，OD // BC，
∴ODBC=AOAB（平行线截线段成比例），
∴r6=10−r10，
解得r=154，即⊙O的半径r为154．
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