周矶中学圆的证明与计算第1问证切线作垂线证半径第2问计算.docx

周矶中学圆的证明与计算第1问证切线作垂线证半径第2问计算.docx

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周矶中学圆的证明与计算第1问证切线作垂线证半径第2问计算

圆的证明与计算

第1问证切线（作垂线证半径）第2问计算

1.（2012山东莱芜，23，10分）（本题满分10分）

已知：

如图，在菱形ABCD中，AB=2

，∠A=60°,以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E.

（1）求证：

⊙D与边BC也相切；

（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积（结果保留π）；

（3）⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF=

S△MDF时，求动点M经过的弧长（结果保留π）.

【解析】

（1）证明：

连结DE，过点Ｄ作DN⊥BC，垂足为点Ｎ．

∵四边形ABCD菱形

∴BD平分∠ABC.……………………………………………………..1分

∵边AB与⊙D相切于点E.

∴DE⊥AB,DN=DE

∴⊙D与边BC也相切..……………………………………………………..3分

（2）∵四边形ABCD菱形

∴

又∵∠A=60°

∴

°=3，即⊙D的半径是3..……………………………………………………..4分

又∵∠HDF=

∠CDA=60°,DH=DF,

∴△HDF是等边三角形.

过点H作HG⊥DF于点G，则HG=3×sin60°=

故S△HDF=

，S扇形HDF=

.

∴S阴影=S扇形HDF－S△HDF＝

……………………………………………..６分

（３）假设点Ｍ运动到点

时，满足S△HDF=

S△MDF，过点

作

P⊥DF于点P，

则

解得

P=

.

故∠FD

=30°，此时经过点M的弧长为：

……………………………..8分

过点

作

∥DF交⊙D于点

则满足S△HDF=

此时∠FD

=150°，

点M经过的弧长为：

.

综上所述，当S△HDF=

S△MDF时，动点M经过的弧长为

或

.……………………………..10分

【答案】

（1）证明：

连结DE，过点Ｄ作DN⊥BC，垂足为点Ｎ．

∵四边形ABCD菱形

∴BD平分∠ABC

∵边AB与⊙D相切于点E.

∴DE⊥AB,DN=DE

∴⊙D与边BC也相切.

（2）S阴影=S扇形HDF－S△HDF＝

（３）当S△HDF=

S△MDF时，动点M经过的弧长为

或

【点评】本题考察了特殊的平行四边形菱形、圆的切线的判定、圆中阴影部分面积的计算、圆中分类讨论思想的应用。

本题涉及的知识点广，考点全面，考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力，难度偏高。

2.（2012湖北随州，23，10分）如图，已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点.

（1）求证：

以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；

（2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长.

解析:

（1）过AB的中点O作OE⊥CD于E.证明OE的长等于半径即可.

（2）证明∠COD=900，运用勾股定理求值..

答案:

证明：

过AB的中点O作OE⊥CD于E.

S梯形ABCD=

（AD+BC）•AB=（AD+BC）•OA

=2（

AD•OA+

BC•OB）

=2（S⊿OAD+S⊿OBC）

由S梯形ABCD=S⊿OBC+S⊿OAD+S⊿OCD

∴S⊿OBC+S⊿OAD=S⊿OCD

∴

AD•OA+

BC•OA=

CD·OE

∴

（AD+BC）·OA=

CD·OE又AD+BC=CD

∴OA=OE,∴E点在以AB为直径的⊙O上，又OE⊥CD

∴CD是⊙O的切线

即：

CD与⊙O相切…………5分

（2）∵DA、DE均为⊙O的切线，∴DA=DE，则∠1=∠2，同理∠3=∠4.∴∠COD=900.

∴CD=

…………5分

点评:

本题考查梯形、直线余与圆的位置关系、勾股定理.根据圆的切线的定义准确的作出辅助线是解决问题的关键.本题中运用面积法证明AD+BC=CD很巧妙.难度较大.

3.（2012湖北孝感10分））如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、

BN于点D、C，DO平分∠ADC．

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．

【答案】解：

（1）证明：

过O点作OE⊥CD于点E，

∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD。

又∵DO平分∠ADC，∴OE=OA。

∵OA为⊙O的半径，∴OE为⊙O的半径。

∴CD是⊙O的切线。

（2）过点D作DF⊥BC于点F，

∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，

∴AB⊥AD，AB⊥BC。

∴四边形ABFD是矩形。

∴AD=BF，AB=DF。

又∵AD=4，BC=9，∴FC=9－4=5。

∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，

∴DA=DE，CB=CE。

∴DC=AD+BC=4+9=13。

在Rt△DFC中，DC2=DF2＋FC2，∴

。

∴AB=12。

∴⊙O的半径R是6。

【考点】切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质。

【分析】

（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。

（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，从而可得出半径。