第五章相交线与平行线.docx

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第五章相交线与平行线

第五章相交线与平行线

【知识概念图表】

知识要点（定义、公理、定理、公式、法则）

（一）相交线

1.相交线：

有唯一公共点的两条直线叫做相交线。

2..邻补角、对顶角

（1）邻补角：

如图，两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角就是一对邻补角。

如∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠4，∠2与∠3。

（2）对顶角：

如图，一个角的两边分别是另一个的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。

如∠1与∠2，∠3与∠4。

对顶角的性质：

对顶角相等。

3.垂线

（1）垂直：

两条直线相交所成的四个角中，有一个角为90度，称这两条直线互相垂直。

（2）垂线：

两条直线互相垂直时，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，此时的交点叫做垂足。

（3）性质：

①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简单说成：

垂线段最短。

注：

“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”中这个“点”可以在直线上，也可以在直线外；

（4）点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。

4.同位角、内错角、同旁内角

（1）同位角：

像∠1与∠5这样的两个角分别都在直线a和b的同一方，且都在直线c的右侧，具有相同位置关系的一对角叫做同位角。

（2）内错角：

像∠4与∠6像这样的夹在直线a和b之间，且分布于直线c的两侧，这样的一对角叫做内错角。

（3）同旁内角：

像∠4与∠5像这样夹在两条直线a和b之间，且分布于第三条直线c的同一侧的一对角叫做同旁内角。

（二）平行线及其判定

1.平行线：

在同一平面内，不相交的几条直线叫做平行线。

平行公理：

经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

2.平行线的判定方法

（1）由定义判定：

平面内的两条直线不相交就平行；

（2）由平行公理判定：

平行于同一条直线的两条直线平行；

（3）由基本判定定理判定：

判定1：

同位角相等，两直线平行。

判定2：

内错角相等，两直线平行。

判定3：

同旁内角互补，两直线平行。

（三）平行线的性质

1.平行线的性质：

性质1：

两直线平行，同位角相等。

性质2：

两直线平行，内错角相等。

性质3：

两直线平行，同旁内角互补。

2.命题、定理

（1）命题：

判断一件事情的语句叫命题。

①结构：

任何一个命题都是由题设和结论两部分组成。

②种类：

分为真命题和假命题，题设成立则结论一定成立，即正确的命题叫做真命题，题设成立但不能保证结论一定成立，即错误的命题叫做假命题。

（2）定理：

用推理证实了是正确的，并且作为证明其他问题的根据的命题就叫做定理。

（3）公理：

是人们在长期实践中总结的数学事实，并且作为判定其他命题真假的理论依据的真命题就叫做公理。

（四）平移

1.平移：

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。

2.对应点：

平移后得到的新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

深度理解

邻补角、对顶角是“两线四角”中具有公共顶点的角。

方法指引

往往要判定两直线垂直，就是要找它们相交成的四个角中，有一个角等于90度。

反之，知道了两直线垂直相交，就能得到它们相交所形成的四个角都是90度，前者是垂直的判定，后者是垂直的性质。

深度理解

同位角、内错角、同旁内角是“三线八角”中，“此四个角”与“彼四个角”之间的角的关系，因而这样的角没有公共顶点。

深度理解

（1）关于平行线的定义要把握两个要点：

①在同一平面内；②永不相交；

（2）初中阶段，在同一平面内两条直线的位置关系就是：

相交或平行。

深度理解

图形平移的方向不一定是水平的。

但平移前后对应点的连线段一定平行且相等。

【易混易错剖析】

1.在应用平行线性质时，往往找错了角的位置。

（应用平行线的判定时也存在类似问题）平行线的性质和判定所涉及到的角，一定是与两目标直线有关联的，也就是说角的某一边一定在相关的两目标直线上。

典型示例：

选择：

下图中由AB∥CD能得到∠1=∠2的是（）

常见错误：

选C.

解析点评：

当两直线平行时，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.A中的∠1与∠2是两平行直线被第三条直线所截而形成的同旁内角，只能得到：

∠1+∠2=1800的结论；B中由对顶角相等来转化角，再由两直线平行同位角相等，是可以得到∠1=∠2的；C中的∠1和∠2倒是一对内错角，但它们不是直线AB和CD被第三线所截而形成的内错角，所以由AB∥CD是不能得到∠1=∠2的；D中的∠1和∠2是直线AC和BD被CD所截而形成的同旁内角，而AC和BD的位置关系是否平行无法确定，所以不能判定∠1和∠2间的数量关系。

因而，正确答案是：

选B。

2.在应用平行线的性质与判定时，二者混淆不清。

由于平行线的三条基本判定与平行线的性质正好是题设与结论互换位置，也就是互逆命题，因而致使学生使用时，出现条件与结论混淆不清的问题。

典型示例：

填空：

在下题的证明过程的每一步后注明理由：

已知∠BAP与∠APD互补，且∠1=∠2.

求证：

∠E=∠F。

证明：

∵∠BAP+∠APD=1800，（已知）

∴AB∥CD，（）

∴∠BAP=∠APC，（）

又∠1=∠2.（已知）

∴∠BAP-∠1=∠APC-∠2，（等式性质）

即∠APF=∠PAE.

∴AE∥PF，（）

∴∠E=∠F.（）

常见错误：

∵∠BAP+∠APD=1800，（已知）

∴AB∥CD，（两直线平行，同旁内角互补）

∴∠BAP=∠APC，（内错角相等，两直线平行）

又∠1=∠2.（已知）

∴∠BAP-∠1=∠APC-∠2，（等式性质）

即∠APF=∠PAE.

∴AE∥PF，（内错角相等，两直线平行）

∴∠E=∠F.（两直线平行，内错角相等）

解析点评：

由角的关系推断出直线平行就是平行线的判定，反之，由两直线平行推导出角的相应关系，就是平行线的性质。

本题正确答案应当是：

∵∠BAP+∠APD=1800，（已知）

∴AB∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）

∴∠BAP=∠APC，（两直线平行，内错角相等）

又∠1=∠2.（已知）

∴∠BAP-∠1=∠APC-∠2，（等式性质）

即∠APF=∠PAE.

∴AE∥PF，（内错角相等，两直线平行）

∴∠E=∠F.（两直线平行，内错角相等）

3.简单的推理论证，逻辑层次混乱，“证明”难以入门。

教材没有一下子把严格意义上的“证明”就呈现出来，而是先逐步渗透，慢慢学会说理。

书中有大量先靠直觉猜想的结论，然后去回答“为什么？

”的问题，目的是逐步引导学生有理有据的去讲道理。

学习时也不可操之过急，从“因为……所以……”每一个小环节学起，从生活中的“讲道理”学起。

（此处不再举例）。

【考点命题突破】

考点分析:

必考点：

平行线的性质与判定的综合运用；

常考点：

对顶角的性质、垂线的定义及性质、垂线段性质以及命题和平移的相关知识。

少考点：

垂线及垂线段概念，点到直线距离的意义，过一点画已知直线的垂线有且仅有一条，用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线，过直线外一点画已知直线的平行线有且仅有一条，用三角板或量角器过直线外一点画已知直线的平行线，两条平行线间的距离的意义，度量平行线间的距离，利用平移变换进行图案设计与欣赏，互逆命题等逻辑知识。

中考热点：

将平行线的性质与判定与其他几何图形结合进行计算或证明是中考必考内容，本身也是热点内容。

考查方式：

以选择题或填空题或者以解答题形式出现，往往不是考查单一的知识点，喜欢与垂线、角平分线、三角形、四边形、圆等知识结合来命题。

考点1平行线的性质、对顶角及三角形知识

（2011山东德州）如图，直线

1∥

2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于

（A）55°（B）60°

（C）65°（D）70°

解题思路：

本题有直线

1∥

2，所以由平行线性质马上得到同位角相等，即∠4=∠1=40°，又由对顶角相等，得：

∠5=∠2=75°，那么在三角形中，由内角和等于180度得：

答案：

C

考点2平行线的性质与判定的综合证明题

（原创题）如图，已知∠B+∠D=∠BCD.求证：

AB∥DE。

解题思路：

本题要证明AB∥DE，需要寻求相关的角间的关系。

题目告诉了：

∠B+∠D=∠BCD.如何应用这个条件呢？

我们不妨在∠BCD内部分割出一个角来，使其正好等于∠B或∠D，添加一条平行辅助线，然后再去证明该线与另一条直线平行，由平行公理就可证出：

AB∥DE。

答案：

证明：

过点C作CF∥AB.

∴∠B=∠BCF（两直线平行，内错角相等），

又∵∠B+∠D=∠BCD.（已知）

∴∠BCF+∠D=∠BCD，即∠BCD-∠BCF=∠D，

∴∠FCD=∠D（等式性质）

∴FC∥DE（内错角相等，两直线平行）

又∵CF∥AB（作辅助线）

∴AB∥DE（平行于同一条直线的两条直线互相平行）

考点3平行线的性质、垂直定义及对顶角性质。

如图，AB∥CD，EF分别与AB、CD交于G、H，MN⊥AB于G，∠CHG=124o，则∠EGM等于多少度？

解题思路：

本题告诉了两线平行，还告诉了垂直及一个角的度数。

显然由平行线的性质，我们马上可以得到：

∠AGH+∠CHG=180O，而∠CHG=124o，所以可得：

∠AGH=56o,又题目告诉了：

MN⊥AB于G，所以∠AGN=90o,所以∠HGN=34o,再由对顶角相等得：

∠EGM=∠HGN=34o.

答案：

解：

∵AB∥CD（已知）∴∠AGH+∠CHG=180O（两直线平行，同旁内角互补）又∠CHG=124o（已知）∴∠AGH=56o,而MN⊥AB于G（已知）∴∠AGN=90o（垂直定义）∴∠HGN=34o,∴∠EGM=∠HGN=34o（对顶角相等）

答：

∠EGM等于34度。

难点突破和易错警示

难点突破：

关键要用已知条件推导出相关结论，然后逐步集中到一个三角形中，用内角和定理使问题得到解决。

难点突破：

本题也可以先作角相等来辅助证题，学习了三角形后，还可构造三角形来证题。

易错警示：

（1）作辅助线首先要用语言说明，并应当画成虚线；

（2）在用平行线的性质和判定时，千万不可混淆。

【中考典题回顾】

例1（2011重庆綦江）如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝65°，则∠2的度数是（）

A.65°B.50°C.35°D.25°

答案：

D

例2（2011云南玉溪）平面内两条直线有相交和平行两种位置关系.

（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？

若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？

请证明你的结论；

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？

（不需证明）；

（3）根据

（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

G

答案：

解：

（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D.

延长BP交CD于点E,

∵AB∥CD.∴∠B=∠BED.又∠BPD=∠BED+∠D，

∴∠BPD=∠B+∠D.

（2）结论：

∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.

（3）由

（2）的结论得：

∠AGB=∠A+∠B+∠E.

又∵∠AGB=∠CGF.

∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°（四边形四个内角的和为360度）

∴∠A+∠B+∠C+∠D∠E+∠F=360°.

要点提示：

例1可用“两直线平行，内错角相等”也可用“两直线平行，同旁内角互补”，要用到垂直定义、对顶角性质或平角定义。

例2本题既是阅读理解性探究问题，也是动态规律性探究问题，是近年中考的热门试题。

对于这类问题，通常要认真阅读所给材料，找到隐含于解题过程中的知识技能、思想方法，从而为探究新问题找到突破口。

同时还要能将所探究得的结论用于解决相应的实际问题。