第五章相交线与平行线教案.docx

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第五章相交线与平行线教案

第五章相交线与平行线

第一节、知识梳理：

相交线与平行线

一、学习目标

   1.理解对顶角、邻补角的概念，掌握其性质，会用其性质进行有关推理和计算；

   2.掌握垂线、垂线段、点到直线的距离的概念；

   3.掌握“三线八角”的内容.

二、学习重点与难点

   学习重点：

1.邻补角、对顶角以及点到直线距离的概念；

   2.掌握两直线平行的三个判定方法.

   学习难点：

1.对顶角的性质、垂线性质；

   2.灵活运用平行线的判定方法来解题.

三、知识概要

1.要正确理解邻补角、对顶角的含义：

（1）判断两个角是否是邻补角，关键要看这两个角的两边，其中一边是公共边，另外两边是互为反向延长线；

（2）邻补角是成对的，是具有特殊位置关系的两个互补的角；

   （3）判断两个角是否是对顶角，看这两个角是不是有公共顶点且有相同的邻补角，只有符合这两个条件时，才能确定这两个角是对顶角.

   2.垂线、垂线段和点到直线的距离是三个不同的概念，不要混淆：

（1）两条直线互相垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在交角都为直角，垂线是其中一条直线对另一条直线的称呼；

（2）垂线是直线，垂线段是一条线段，是图形.

   （3）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说成垂线段是距离.

   3.两条直线的位置关系，是在两条直线在“同一平面内”的前提下提出来的，它们的位置关系只有两种：

一是相交（有一个公共点），二是平行（没有公共点）：

（1）识别同位角、内错角、同旁内角的关键是要抓住“三线八角”，只有“三线”出现且必须是两线被第三线所截才能出现这三类角；

（2）判定两条直线平行时要正确判断出是什么角，什么关系，由此可以推出哪两条直线平行.

四、知识链接

   1.本周相交线、平行线是以前学的直线的位置关系的延伸.

   2.通过内错角、同位角、同旁内角等角度的比较得到平行线.而由平行线又可得到下周的平行线性质.

五、中考视点

   平行与相交线中的垂直是经常考的内容.一般考其基础知识，以填空选择为主.

平行线的性质与平移

一、学习目标

   1.掌握平行线的性质并会应用.

   2.理解命题并会判断.

   3.理解平移的定义并会应用平移的特征.

二、知识概要

   1.平行线的性质

   性质1：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：

两直线平行，同位角相等.

   性质2：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：

两直线平行，内错角相等.

   性质3：

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：

两直线平行，同旁内角互补.

   2.两条平行线的距离

   同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离.

   对于这个概念，应注意三点：

（1）两条直线必须是平行的；

（2）第三条直线同时垂直于它们；

   （3）距离是线段的长度，是个具体的数，而不是线段这个图形.

   3.关于命题

   判断一件事情的语句叫做命题.每个命题都是由条件和结论两部分组成的.

   4.平移的概念

   在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动就称做为平移.

   5.平移的基本特征

   平移的基本特征是：

经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.

   三、重点难点

   学习重点：

1.平行线的性质及其应用.

   2.平移的特征.

   学习难点：

1.命题的判断.

   2.平移变换及其性质应用.

   四、知识链接

   平行线的性质与判定定理有互逆性，平移变换及性质是研究动态几何的基础内容之一.

   五、中考视点

   平行线的知识是每年必考的内容，在填空选择中经常直接考平行线的性质.在解答题中经常与其他知识联系，综合考查.平移知识也是考的比较多的内容，尤其是在做辅助线时经常用到.

第二节、教材解读:

理解“三线八角”

当两条直线AB和CD被第三条直线EF所截（如图），可得到八个角.根据位置特征不同，把∠1和∠5、∠2和∠6、∠4和∠8、∠3和∠7这样的称作同位角；把∠4和∠6、∠3和∠5这样的称作内错角；把∠4和∠5、∠3和∠6这样的称作同旁内角.在数学中也常把与同位角、内错角、同旁内角相关的问题称作“三线八角”问题.

1.所谓同位角也就是位置特征相同，如∠1和∠5同在“左上”（AB和CD左侧，EF上方）；∠2和∠6同在“左下”（AB和CD左侧，EF下方）；∠4和∠8同在“右上”（AB和CD右侧，EF上方）；∠3和∠7同在    “右下”（AB和CD右侧，EF下方）.

   2.所谓内错角是指在两条被截直线之内，在第三条直线左右错开的位置的角，如∠4和∠6在AB和CD之内，而在EF左右两边错开的角；∠3和∠5在AB和CD之内，而在EF左右两边错开的角.

   3.所谓同旁内角是指在第三条直线同旁，而在两条被截直线之内的位置的角，如∠4和∠5同在EF上边而在AB和CD之内；∠3和∠6同在EF下边而在AB和CD之内.

第三节、错解剖析

【例1】填空：

从直线外一点到这条直线的 ____，叫做点到直线的距离．

错解：

垂线段．

   【思考与分析】点到直线的距离是指垂线段的长度，它是一个数量而不是图形．错误的原因是概念不清.

正解：

垂线段的长度．

  【例2】判断正误：

有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角．

错解：

正确．

   【思考与分析】此题错在没有抓住对顶角概念的实质，出现了扩大概念实质和概念外延的错误，把一些不是对顶角的角看成了对顶角，如下图中∠1和∠2有公共顶点且没有公共边，但它们不是对顶角．错误的原因是概念不清.

    正解：

如果一个角与另一个角有公共端点且两边分别是这个角的两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角．

【例3】如图，若AB∥CD，CD∥EF，则AB∥EF.理由是什么？

    错解：

等量代换．

  【思考与分析】上面的回答把相等和平行混为一谈，相等说的是两个量的大小关系，平行说的则是两条直线的位置关系，完全不是一码事，所以，平行线的传递性是不能用"等量代换"来表达的．错误的原因是位置关系和数量关系混淆

   正解：

平行于同一条直线的两条直线平行．

  【例4】判断正误：

同一平面内不相交的两条线是平行线．

  错解：

正确.

  【思考与分析】平行线是讲同一平面内两条直线的位置关系.不相交的两条射线或线段有可能延长或反向延长后相交．错误的原因是没有分清“三线”的区别和联系.

   正解：

同一平面内不相交的两条直线是平行线．

  【例5】判断正误：

不相交的两条直线是平行线．

    错解：

正确．

   【思考与分析】在同一平面内不相交的两条直线是平行线，但在空间里很容易找到不相交的两条直线，而且它们并不平行，错误的原因是思考不周.

   正解：

在同一平面内不相交的两条直线是平行线．

第四节、思维点拨

【例1】已知，如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，你能求出∠AOC的度数吗？

 【思考与分析】观察图形我们可知，∠AOE与∠BOE是邻补角，所以∠BOE的度数可求，又由OE是∠BOD的角平分线可求得∠BOD=2∠BOE，而∠AOC与∠BOD是对顶角，故∠AOC可求.

解：

∵AB是直线（已知），

   ∴∠AOE与∠BOE是邻补角（邻补角定义）.

   ∴∠AOE+∠BOE=180°（补角定义）.

  又∠AOE=150°（已知），

   ∴∠BOE=180°-∠AOE=180°－150°=30°（等式性质）.

   ∵OE平分∠BOD（已知），

   ∴∠BOD=2∠BOE（角平分线定义）.

   即∠BOD=2×30°＝60°.

   ∵∠AOC与∠BOD是对顶角（由图可知），

   ∴∠AOC＝∠BOD（对顶角相等）.

   ∴∠AOC＝60°.

　反思：

在思考过程中抓住角平分线DE与各个角的关系是解题的关键.

  【例2】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是（     ）.

   A.∠2=45°         

   B.∠1=∠3

   C.∠AOD与∠1互为补角     

   D.∠1的余角等于75°30′

   思考与解:

∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°.

   ∵OF平分∠AOE，

   ∵∠1与∠3是对顶角，∴∠1=∠3.∴B正确.

   ∵∠AOD与∠1互为补角.∴C正确.

   ∵∠1=15°30′，∴∠1的余角=90°-15°30′=74°30′.∴D不正确.故选D.

【小结】我们在做这类选择题时，首先把题中条件与图形一一对应，然后看每个结论是否与条件冲突.

【例3】已知，如图，直线AB、CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O，∠DOF＝32°，你能求出∠AOE的度数吗？

【思考与分析】我们由AB⊥CD可知∠AOC＝90°，因此，∠AOE与∠EOC互余.又因为∠EOC与∠DOF是对顶角，于是∠EOC=32°，于是∠AOE可求.

 解法一：

∵直线CD与EF交于O（已知），

  ∴∠EOC=∠DOF（对顶角相等）.

  ∵∠DOF＝32°（已知），

   ∴ ∠EOC=32°（等量代换）.

  ∵AB、CD互相垂直（已知），

  ∴ ∠AOC＝90°（垂直定义）.

  ∴ ∠AOE+∠EOC=90°.

  ∴ ∠AOE=90°-∠EOC=90°-32°=58°.　　 

解法二：

∵直线AB、CD互相垂直（已知），

   ∴ ∠BOD＝90°（垂直定义）.

   ∴ ∠BOF+∠DOF=90°.

   ∵ ∠DOF＝32°（已知），

   ∴ ∠BOF=90°-∠DOF=58°.

   ∵直线AB与直线EF交于点O（已知），

   ∴∠AOE=∠BOF（对顶角相等）.

   ∴∠AOE＝58°.

    反思：

第一种解法先用对顶角后用互余，第二种解法先用互余后用对顶角，我们在平时做题时也应该多想多做，多角度分析解决问题.

【例4】如图3，直线AB与CD相交于点F，EF⊥CD，则∠AFE与∠DFB之间的关系是_______.

   【思考与分析】我们由所给的条件EF⊥CD，得∠CFE=90°，也就是说∠AFE＋∠AFC=90°，又根据对顶角相等，得∠AFC＝∠DFB，所以∠AFE＋∠DFB=90°.本题也可利用平角的定义来解，即由∠AFE＋∠DFB＋∠EFD=180°，又因为∠EFD=90°，所以∠AFE＋∠DFB=90°.

   解：

∠AFE与∠DFB互为余角（或∠AFE＋∠DFB=90°）.

   【小结】这类题目的特点是有条件而无结论，要从所给的条件出发，通过分析、比较、猜想，寻找多种解法和结论，再进行说理证明.这类题目具有较强的探索性，思维空间较大且灵活，突破了死记概念的传统模式.

【例5】平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（     ）对.

A.4对  B.8对   C.12对  D.16对

   【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD被直线EF所截”、“直线AB和CD被直线GH所截”、“直线EF和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF和CD被直线GH所截”、“直线AB和GH被直线EF所截”、“直线GH和CD被直线EF所截”.每一个“三线八角”都有两对同旁内角，故原图中共有16对，因此选择D.

   【小结】解这类问题，关键是如何用图形分解法把图形分成若干个“三线八角”.【例题】

（1）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，则∠CBD的度数是          °.

（2）已知：

如图2，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．你能说明∠P=90°吗？

   （3）如图3，已知AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E的度数为       .

    【思考与解】

（1）解法一：

由题意我们知BD∥AC.所以∠ABD+∠BAC=180°.所以∠CBD=180°-50°-90°=40°.

   解法二：

由题意我们知∠C=90°-∠A=90°-50°=40°.

   又因为BD∥AC. 所以∠CBD=∠C=40°.

（2）因为AB∥CD.

   所以根据平行线的性质得：

∠BEF+∠EFD=180°.

   又因为EP、FP分别平分∠BEF和∠EFD.

   所以∠P=180°-（∠1+∠2）=180°-90°=90°.

   （3）因为AB∥CD. 所以∠BFE=∠C=75°.

   所以∠AFE=180°-∠BFE=180°-75°=105°.

   所以∠E=180°-∠A-∠AFE=180°-25°-105°=50°

   反思：

我们在做这类题的时候，一定要想是不是这样做最简单，是不是只有这一种解法？

【例6】如图1，如果∠B＝∠1=∠2＝50°，那么∠D＝   .

   【思考与分析】我们通过观察图形，由∠B＝∠1=∠2＝50°可得AB∥DC、AD∥BC，再利用其性质同旁内角互补可得∠D的度数.

   解：

因为∠B＝∠1，所以AB∥DC，

   所以∠B＋∠BCD=180°，∠BCD=130°.

   又因为∠B＝∠2，所以AD∥BC，

   所以∠BCD＋∠D=180°，∠D=50°.

   反思：

我们解题时用的是同旁内角互补.还可以利用∠D＝∠1＝∠B＝50°.也可以利用∠D＝∠2＝∠B＝50°.大家可以试一试.

   【例7】如图2，直线l1、l2分别与直线l3、l4相交，∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，∠4＝125°，则∠3＝      .

   思考与解：

因为∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，

   所以∠1＋∠2＝180°.

   所以l1∥l2.

   所以∠3＝∠5＝180°－∠4＝55°.

   反思：

我们难以理解的是为什么∠1＋∠2＝180°？

我们可由题意列式∠1＋∠3＝90°，90°－∠3＋∠2＝180°.两个式子相加可得∠1＋∠2＝180°.

在解决有关平行问题的时候，有时需要添加必要的辅助线，而添加平行线作为辅助线，更是解决此类问题好的帮手.下面举几例说明.

   【例8】如图1所示，直线a∥b，∠ACF＝50°，∠ABE＝28°，求∠A的大小.

   【思考与分析】要求∠A的大小，关键是确定辅助线的位置.于是我们会想到过点A作AD∥b，这样利用平行线的知识即可求解.

   解：

过点A作AD∥b，则∠DAC＝∠ACF＝50°.

   又因为a∥b，

   所以AD∥a.

   所以∠DAB＝∠ABE＝28°.

   所以∠BAC＝∠DAC－∠DAB＝50°－28°＝22°，即∠A的大小是22°.

   反思：

在解题时我们做AD∥b，那么是不是必须要做辅助线呢？

我们继续思考：

∠A在△ABG中，∠ABE也在△ABG中且等于28°，那么只要求出∠AGB的度数，就可求∠A的度数.

   【例9】如图2，AB∥CD，EO与FO相交于点O，试猜想∠AEO、∠EOF、∠CFO之间的关系，并说明理由.

   【思考与分析】由于∠BEO、∠EOF、∠DFO三个角的位置较散，设法通过辅助线使之相对集中，我们可以考虑AB∥CD，可以过点O作MN∥AB，这样即可找到三个角之间的关系了.由此猜想∠AEO+∠CFO+∠EOF=360°.

   解：

过点O作MN∥AB.

   因为AB∥CD，

   所以CD∥MN.

   所以∠AEO+∠EOM=180°，∠MOF+∠CFO=180°.

   所以∠AEO+∠CFO+∠EOF=∠AEO+∠EOM＋∠MOF+∠CFO＝180°＋180°＝360°.

   反思：

我们解这道题是用的两组同旁内角之和.其实我们还可以连结EF，正好把这三个角分成一组同旁内角和一个三角形的三个内角.由同旁内角和三角形内角和可得出同样的结论.

   【例10】如图3，已知AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D.试探索β与2α的数量关系，并说明你的理由.

   【思考与分析】我们由已知条件AB∥ED可知α＝∠A+∠E＝180°，于是只需知道β＝∠B+∠C+∠D的大小即可探索出β与2α的数量关系.此时可以过点C作CF∥AB，从而求出β＝∠B+∠C+∠D＝360°，即有β＝2α.

   解：

猜想β＝2α.

   理由是：

过C作CF∥AB，

   因为AB∥ED，

   所以∠α＝∠A+∠E＝180°.

   又因为AB∥ED，

   所以CF∥DE，即（∠B+∠1）+（∠2+∠D）＝360°.

   故β＝2α.

   【小结】这道题的思路与我们做的上题是相同的，也可以连结BD来解.

第五节、竞赛数学

在竞赛试题中，平行和垂直是做为基础知识应用在一些综合性的题目之中，单独出题的情况很少，但当平行和垂直的性质与实际情况结合时，往往也会被做为新题型来考查.

   【例1】请说明在同一平面内三条直线的位置关系及交点个数.

   【思考与分析】本题有多种分类，如以两条直线的位置关系分类，再考虑第三条直线的位置；又如以三条直线交点的个数分类等.下面我们就第二种分类加以说明.

   解：

（1）如图1，三条直线互相平行，此时交点个数为0；

（2）如图2，三条直线相交于同一点，此时交点个数为1；

   （3）如图3，三条直线两两相交且不交于同一点，此时交点个数为3；

   （4）如图4，其中两条直线平行，都与第三条直线相交，此时交点个数为2.

   综上所述，平面内三条直线的交点个数为0或1或2或3个.

   （如果按第一种情况进行分类研究，又该如何呢？

请大家思考一下.）

   反思：

求解中

（2）、（3）两种情况称为三条直线两两相交.当题目中图形不全或不确定时，我们一定要注意分类.

   【例2】

（1）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法.

（2）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能，请画出一例，如果不能，请简述理由.

  【思考与分析】“6条直线相交且任意3条都不共点”，要解决这个问题，我们可以首先画出两条相交直线，这样可以发现若不出现3条直线共点可以出现平行线.对于

（2）中所求，可以根据

（1）得到的结论先对其进行推理，不要盲目的画图.

   解：

（1）在平面上任取一点A，过A作两直线m1与n1.在n1上取两点B、C，在m1上取两点D、G.过B作m2∥m1，过C作m3∥m1，过D作n2∥n1，过G作n3∥n1，这时m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四点，如图所示.由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交.

（2）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交.

　    　理由如下：

假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其它3条相交，因两直线相交只有一个交点，又因没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点.根据直线去数这些交点，共有3×7＝21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为

因为这与交点个数应为整数矛盾.所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的.

   反思：

本题在说明理由时应用了假设法.利用假设推导出结果是否与题中条件冲突.这与我们以后要学的反证法相类似.

【例3】平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（     ）对.

A.4对  B.8对   C.12对  D.16对

   【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD被直线EF所截”、“直线AB和CD被直线GH所截”、“直线EF和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF和CD被直线GH所截”、“直线AB和GH被直线EF所截”、“直线GH和CD被直线EF所截”.每一个“三线八角”都有两对同旁内角，故原图中共有16对，因此选择D.

   【小结】解这类问题，关键是如何用图形分解法把图形分成若干个“三线八角”.

【例4】有10条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现有31名交警，刚好满足每个岔口有且只有一名交警执勤，请你画出公路示意图.

   【思考与解】我们可以把公路想象成直线，岔口想象成交点，由警察的人数及题意可知，10条直线刚好有31个交点.根据前面所学知识，平面上的10条直线，若两两相交，最多出现45个交点，现在只要求出现31个交点，就要减去14个交点，这种情况下，通常采取两种办法：

（1）多条直线共点；

（2）出现平行线.根据题意，方法

（1）不能实现，所以想到使用平行线.在某一方向上有5条直线互相平行，则减少10个交点，若6条直线平行，则可减少15个交点，所以这个方向上最多可取5条平行线，这时还有4个点要去掉，换一个方向取3条平行线，即可再减少3个交点，这时还剩下2条直线与1个要减去的点，只须让其在第三个方向上互相平行即可，如图所示：

【小结】本题考查我们对知识的综合应用能力，在做题时，要牢牢把握平行线的性质，与图形结合，从简单的图形推理找出问题的入手点.

【例5】把正方形ABCD边AD平移得到EF，作出平移后的正方形能有几种作法？

   【思考与分析】据题意，平移是指正方形整体平移，只有一个.我们根据以前学过的作图方法和本周学的平移作图，作法有如下几个：

   作法1：

过E作EF的垂线，截取EG＝EF，过G点作EF的平行线，截取GH＝EF（注意截取方向），连接FH就得到平移后的正方形.如图

（1）.

   作法2：

过E、F分别作EF的垂线，截取EG＝EF，FH＝EF（注意截取方向），连接GH，就得到平移后的正方形.如图

（1）.

   作法3：

过F作EF的垂线，截取FH＝EF，过H点作EF的平行线，截取GH＝EF（注意截取方向），连接EG就得到平移后的正方形.如图

（1）.

   作法４：

过E作AC的平行线，过F作BD的平行线，截取EH=AC，FG=BD（注意截取方向）.连接EG，GH，HF，就得到平移后的正方形.如图

（2）.

   作法5：

连接EA，FD，过B点作EA的平行线，过C作FD的平行线.截取BG=EA，C