人教版九年级数学上册同步练习 2422第3课时 切线长定理和三角形的内切圆最新学习文档.docx

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人教版九年级数学上册同步练习2422第3课时切线长定理和三角形的内切圆最新学习文档

24.2　点和圆、直线和圆的位置关系

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：

“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

24.2.2　直线和圆的位置关系

这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

要求学生抽空抄录并且阅读成诵。

其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。

如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。

如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?

第3课时　切线长定理和三角形的内切圆

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：

“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

1.如图24－2－42，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，连接OP.若∠APO＝30°，OA＝2，则BP的长为（　　）

宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。

其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。

而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。

“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。

于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。

在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。

图24－2－42

我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?

吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:

“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!

”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。

特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:

提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。

知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。

根本原因还是无“米”下“锅”。

于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。

所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。

要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。

A.

B.

C．4D．2

2．三角形的内心是（　　）

A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点

C．三条高所在直线的交点D．三条中线的交点

3.如图24－2－43，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝________°.

图24－2－43图24－2－44

4．如图24－2－44，一圆内切于四边形ABCD，且BC＝10，AD＝7，则四边形ABCD的周长为（　　）

A．32B．34C．36D．38

5.如图24－2－45，PA，PB分别切⊙O于点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点M，N.若PA＝7.5cm，则△PMN的周长是（　　）

图24－2－45

A．7.5cmB．10cmC．12.5cmD．15cm

6．如图24－2－46，PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，E，CD分别交PA，PB于C，D两点．若∠P＝40°，则∠PAE＋∠PBE的度数为（　　）

A．50°B．62°C．66°D．70°

图24－2－46图24－2－47

7.如图24－2－47，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，AC＝6，△ABC的内切圆⊙O分别切AB，BC，AC于点D，E，F，则AF的长为（　　）

A．5B．10C．7.5D．4

8．如图24－2－48，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO与⊙O相交于点C，连接AC，BC.求证：

AC＝BC.

图24－2－48

9．如图24－2－49所示，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，AC为⊙O的直径，PO交⊙O于点E.

（1）试判断∠APB与∠BAC的数量关系，并说明理由．

（2）若⊙O的半径为4，P是⊙O外一动点，是否存在点P，使四边形PAOB为正方形？

若存在，请求出PO的长，并判断点P的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由．

图24－2－49

10．若等腰直角三角形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为（　　）

A.

B．2

－2C．2－

D.

－2

11．⑨如图24－2－50，⊙O是四边形ABCD的内切圆．若∠AOB＝70°，则∠COD的值是（　　）

图24－2－50

A．110°B．125°C．140°D．145°

12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？

”其意思是：

“如图24－2－51，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？

”（　　）

图24－2－51

A．3步B．5步C．6步D．8步

13.2019·玉林如图24－2－52，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（　　）

图24－2－52

A．240°B．360°C．480°D．540°

14．如图24－2－53，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，点O为△ABC的内心，M为斜边AB的中点，则OM的长为________．

图24－2－53　图24－2－54

15.如图24－2－54，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，CD为AB边上的高，点O为△ACD的内切圆圆心，则∠AOB的度数为________．

16．如图24－2－55，在扇形OAD中，∠AOD＝90°，OA＝6，P为

上任意一点（不与点A，D重合），PH⊥OD于点H，点I为△OPH的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r，则当点P在

上运动时，求r的值．

图24－2－55

17．如图24－2－56，在ABC中，边AC上有一点D满足CD＝2AD，O是△BDC的内心，E，F分别为⊙O与边BD，CD的切点，已知BD＝BC.

（1）求证：

①AE⊥EF，②AE∥DO；

（2）若AC＝6，⊙O的半径为1，求AE的长．

图24－2－56

18．联想三角形内心的概念，我们可引出如下概念．

定义：

到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．

举例：

如图24－2－57①，若PD＝PE，则点P为△ABC的准内心．

应用：

如图②，BF为等边三角形ABC的角平分线，准内心P在BF上，PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，且PF＝

BP.求证：

点P是△ABC的内心．

图24－2－57

19.联想三角形外心的概念，我们可引出如下概念：

到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．例如：

如图24－2－58①，PA＝PB，则点P为△ABC的准外心．

（1）如图②，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝

AB，连接AP，BP，求∠APB的度数；

（2）如图③，若△ABC为直角三角形，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，准外心P在AC边上，试探究PA的长．

图24－2－58

答案详析

1．D　2.B　3.130

4．B　[解析]设AB，BC，CD，DA与圆分别相切于点E，F，G，H.根据切线长定理可得AH＝AE，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，所以AB＋CD＝AD＋BC，所以四边形ABCD的周长为2（BC＋AD）＝34.

5．D　[解析]由切线长定理，可得PA＝PB，AM＝MC，CN＝BN，

∴△PMN的周长＝PM＋MN＋PN＝PM＋MC＋CN＋PN＝PM＋AM＋BN＋PN＝2PA＝15cm.

6．D

[解析]∵∠P＝40°，

∴∠PCD＋∠PDC＝140°.

∵PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，E，

∴AC＝CE，DE＝DB，

∴∠CAE＝∠CEA，∠DEB＝∠DBE.

∵∠PCD＝∠CAE＋∠CEA＝2∠PAE，

∠PDC＝∠DEB＋∠DBE＝2∠PBE，

∴∠PCD＋∠PDC＝2（∠PAE＋∠PBE）＝140°，

∴∠PAE＋∠PBE＝70°.

7．A

[解析]由切线长定理可得CF＝CE，AF＝AD，BD＝BE，∴2AF＋2BE＋2CE＝AB＋BC＋AC＝20，∴AF＋BC＝10，∴AF＝5.

8．[证明：

∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，

∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.

又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC，

∴AC＝BC.

9．解：

（1）∠APB＝2∠BAC.

理由：

∵PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，

∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO，

∴∠PAB＝∠PBA.

∵∠APO＋∠BPO＋∠PAB＋∠PBA＝180°，

∴∠APO＋∠PAB＝90°.

∵PA是⊙O的切线，

∴∠PAO＝90°，即∠PAB＋∠BAC＝90°，

∴∠APO＝∠BAC，

∴∠APB＝2∠BAC.

（2）存在．

∵PA，PB为⊙O的切线，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°，

∴当OA⊥OB时，四边形PAOB为矩形．

而OA＝OB，∴四边形PAOB为正方形，

∴PO＝

OA＝4

.

这样的点P有无数个，当点P在以点O为圆心，4

为半径的圆上时，四边形PAOB为正方形．

10．B　[解析]若等腰直角三角形外接圆的半径为2，则其斜边长为4，则其周长为4＋4

，其内切圆半径为周长的一半减去斜边长，即2＋2

－4＝2

－2.

11．A　[解析]∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，

∴∠OAB＝∠OAD，∠ODA＝∠ODC，∠OCD＝∠OCB，∠OBC＝∠OBA，

∴∠OAB＋∠OBA＋∠ODC＋∠OCD＝∠OAD＋∠OBC＋∠ODA＋∠OCB＝180°，

则∠AOD＋∠BOC＝∠AOB＋∠COD＝180°，

∴∠COD＝180°－∠AOB＝110°.

12．C

[解析]如图，设BC＝8，AC＝15，

∴AB＝

＝17.

∵S△ABC＝

AC·BC＝

AB·r＋

AC·r＋

BC·r＝

r（AB＋AC＋BC），

∴r＝

＝

＝3.故直径为6.

13．C　[解析]由题意可得第一次OA顺时针转动了120°，第二次OA顺时针转动了240°，第三次OA顺时针转动了120°，故当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是120°＋240°＋120°＝480°.

14．2

　[解析]如图，∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，∴AB＝20.作△ABC的内切圆⊙O，设⊙O与△ABC的三边分别相切于点E，D，F.由切线长定理可得AE＝AF，BF＝BD，CD＝CE.∵AE＋AF＋BF＋BD＋CD＋CE＝AC＋AB＋BC＝48，∴BF＝

×48－12＝12，CE＝

×48－20＝4.连接OE，OD，OF可得∠CEO＝∠CDO＝90°.又∵∠C＝90°，∴四边形CEOD是矩形．∵OE＝OD，∴矩形CEOD是正方形，∴OE＝OD＝CE＝OF＝4.∵M是AB的中点，∴BM＝10，∴FM＝BF－BM＝12－10＝2，

∴OM＝

＝2

.

15．135°

[解析]连接CO，延长AO交BC于点F.

∵CD为AB边上的高，∴∠ADC＝90°，

∴∠BAC＋∠ACD＝90°.

又∵点O为△ACD的内切圆圆心，

∴AO，CO分别平分∠BAC和∠ACD，

∴∠OAC＋∠OCA＝

（∠BAC＋∠ACD）＝

×90°＝45°，∴∠AOC＝135°.

在△AOB和△AOC中，

∴△AOB≌△AOC（SAS），

∴∠AOB＝∠AOC＝135°.

16．解：

如图，连接OI，PI，DI.

∵△OPH的内心为点I，

∴∠IOP＝∠IOD，∠IPO＝∠IPH，

∴∠PIO＝180°－∠IPO－∠IOP＝180°－

（∠HOP＋∠OPH），

而PH⊥OD，即∠PHO＝90°，

∴∠PIO＝180°－

（∠HOP＋∠OPH）＝180°－

×（180°－90°）＝135°.

在△OPI和△ODI中，

∴△OPI≌△ODI（SAS），

∴∠PIO＝∠DIO＝135°，

∴点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上．

过D，I，O三点作⊙O′，如图，连接O′D，O′O.

在优弧DMO上取点P′，连接P′D，P′O.

∵∠DIO＝135°，∴∠DP′O＝180°－135°＝45°，

∴∠DO′O＝90°，而OD＝6，

∴O′O＝O′D＝3

，∴r的值为3

.

17．解：

（1）证明：

①如图，连接OB，OF.

∵点O是△BDC的内心，∴OB平分∠DBC.

∵BD＝BC，∴OB⊥CD.

∵CD与⊙O相切于点F，∴OF⊥CD，

∴B，O，F三点共线，∴DF＝CF.

∵CD＝2AD，∴AD＝DF.

∵BD与⊙O相切，

∴由切线长定理可知DE＝DF，

∴AD＝DE＝DF，

∴A，E，F三点共圆，且圆心为点D.

∵AF是⊙D的直径，∴∠AEF＝90°，

∴AE⊥EF.

②∵点O是△BDC的内心，∴DO平分∠BDC，

∴∠EDF＝2∠EDO.

由①知AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA.

又∵∠EDF＝∠DAE＋∠DEA，

∴2∠EDO＝2∠DEA，∴∠EDO＝∠DEA，

∴AE∥DO.

（2）如图，设DO与EF相交于点G.

由

（1）可知DE＝DF，DO平分∠EDF，

∴DO⊥EF.

∵AD＝DF＝CF，AC＝6，∴DF＝2.

∵OF＝1，∴由勾股定理可求得OD＝

.

∵

DF·OF＝

OD·FG，

即

×2×1＝

×

FG，∴FG＝

.

由垂径定理可知EF＝2FG＝

.

∵AF＝2DF＝4，∠AEF＝90°，

∴由勾股定理可求得AE＝

＝

＝

.

18．证明：

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.

∵BF为△ABC的角平分线，

∴∠PBE＝30°，∴PE＝

BP.

∵BF是等边三角形ABC的角平分线，

∴BF⊥AC.

∵点P是△ABC的准内心，PD⊥AB，PE⊥BC，PF＝

BP，

∴PE＝PD＝PF，∴点P是△ABC的内心．

19．解：

（1）①若PB＝PC，则∠PCB＝∠PBC.

∵CD为等边三角形的高，

∴AD＝BD，∠PCB＝30°，

∴∠PBD＝∠PBC＝∠PCB＝30°，

∴PD＝

BD＝

AB，与已知PD＝

AB矛盾，∴PB≠PC；

②若PA＝PC，同理可推出矛盾，∴PA≠PC；

③若PA＝PB，由PD＝

AB，

得PD＝BD＝AD，

∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∴∠APB＝90°.

综上可得，∠APB＝90°.

（2）①若PB＝PA，连接PB.

设PA＝x，则PB＝x.

∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，

∴AC＝12，∴PC＝12－x.

在Rt△BCP中，有x2＝（12－x）2＋52，

解得x＝

，即PA＝

.

②若PA＝PC，则PA＝6.

③若PC＝PB，由图知，不可能．

综上可得，PA的长为

或6.